前言

牛顿力学
拉格朗日力学

牛顿力学

§1 约束与自由度

力学要研究的是如何描述和预测一个系统。用于描述一个系统的最基本的物理量就是具有长度量纲的坐标$\pmb{x}$。为了对坐标进行预测，我们通常会使用坐标对时间的变化率，即速度$\pmb{v}=\frac{\mathrm{d} \pmb{x}}{\mathrm{d} t}$。如果想要预测速度，就需要速度对时间的变化率，即加速度$\pmb{a}=\frac{\mathrm{d} \pmb{v}}{\mathrm{d} t}$。然而这个迭代不能永远的持续下去，否则永远无法完成预测的任务，我们也不能随意地指定坐标的某一阶导数为常数。

幸运的是，自然在坐标的二阶导时就完成了闭环，即牛顿第二定律

$m\pmb{a}=\pmb{F}(\pmb{x},\pmb{v}) \tag{1}$

三维空间中的坐标有三个分量，例如使用笛卡尔坐标系，则$\pmb{x}=(x,y,z)$。于是，为了描述一个具有$N$个质点的系统，我们需要$3N$个变量。然而这$N$个变量通常不是独立的，而是由约束方程所联系起来的。

部分约束仅对系统的位型有要求，约束方程仅与坐标坐标有关

$f(\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_N,t)=0， \tag{2}$

这种约束称为几何约束。部分约束同时对系统的位型与速度有要求，约束方程与坐标和速度有关

$f(\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_N,\pmb{v}_1,\cdots,\pmb{v}_N,t)=0 \tag{3}$

这种约束称为运动约束或微分约束。事实上，几何约束可以转化为运动约束，将式$(2)$对时间求导，得

$\sum_{i=1}^N\frac{\partial f}{\partial \pmb{x}_i}\pmb{v}_i+\frac{\partial f}{\partial t}=0，\tag{4}$

就得到了一个运动约束。反之，有些运动约束可以通过积分变为几何约束。因此，可积分的运动约束和几何约束合称完整约束。不可积分的运动约束也称为非完整约束。

同时，根据约束方程是否显含时间可将约束分为定常约束和不定常约束。此外，约束还分为双侧约束和单侧约束。其中，单侧约束的约束方程通常表现为不等式，也称为约束不等式。

只受完整约束的系统称为完整系统，除完整约束外还受不完整约束的系统就称为非完整系统。对于完整系统，我们可以通过积分将运动约束全部转化为几何约束，再根据所有约束方程解出非独立变量。假设共有$t$个完整约束，则唯一确定系统的独立变量的个数为$3N-t$。这些独立变量又称为完整系统的自由度。注意，有时为了更简便的描述系统，我们的自由度可以不是具有长度量纲的物理量。非完整系统的自由度的定义有些复杂，这里暂时不进行讨论。

§2 广义坐标与广义速度

确定了完整系统的$s$个自由度后，我们可以选择$s$个独立变量$q_1,\cdots,q_s$来描述系统。这$s$个变量称为广义坐标。广义坐标对时间的导数称为广义速度$\dot{q}_1,\cdots,\dot{q}_s$。

§3 非完整系统

假设非完整系统有$a$个完整约束与$b$个非完整约束。于是系统的自由度为$3N-a$，需要选择$s=3N-a$个广义坐标，于是对应的就有$s$个广义速度。而$b$个非完整约束就会对这$s$个广义速度有要求，独立的广义速度的数量为$s-b=3N-a-b=t$。 $t$称为无限小运动中的自由度，第一节中定义的自由度为有限运动中的自由度。

§4 虚功原理与达朗贝尔原理

根据牛顿定律，一切影响系统运动的因素都归结于力，于是约束作用也可以视作力。迫使系统满足力学约束的力称为约束力。除约束力外的所有力称为主动力，分别记为$\pmb{N}_i$与$\pmb{F}_i$。

为了充分考虑约束对系统运动的限制，我们引入虚位移。虚位移对应所有被约束方程所允许的微小位移，记作$\delta \pmb{r}_i$。虚位移区别于真实位移元$\mathrm{d}\pmb{r}_i$的是，真实位移是满足运动定律的，且对应时间微元$\mathrm{d}t$，而虚位移绝大多数是不满足运动定律的，且不对应时间微元，即考虑虚位移时，时间是被“冻结”了的。对于定常约束，真实位移是虚位移中的一个，而对于非定常约束，真实位移并非虚位移中的一个。

设有$n$个质点的系统，其受$a$个完整约束，约束方程为

$f_i(\pmb{r}_1,\cdots,\pmb{r}_n,t)=0~~~~(i=1,\cdots,a) \tag{1}$

引入虚位移$\delta \pmb{r}_i$，于是约束方程变为

$f_i(\pmb{r}_1+\delta\pmb{r}_1,\cdots,\pmb{r}_n+\delta\pmb{r}_n,t)=0 \tag{2}$

对小量$\delta\pmb{r}_i$作泰勒展开，并略去二阶以上项，得

$\sum_{k=0}^n\nabla f_i\cdot \delta\pmb{r}_k=0\tag{3}$

式$(3)$为虚位移满足的方程。

当系统发生虚位移时，我们可以计算虚位移对应的虚功：

$\delta W=\sum_{i=1}^n(\pmb{N}_i+\pmb{F}_i)\cdot \delta\pmb{r}_i~~~~(i=1,\cdots,n) \tag{4}$

如果约束满足

$\sum_{i=1}^n\pmb{N}_i\cdot\delta\pmb{r}_i=0\tag{5}$

则称为理想约束。对于仅受理想约束的系统，如果它处于平衡状态，则有

$\pmb{F}_i+\pmb{N}_i=0 \tag{6}$

于是有

$\sum_{i=1}^n\pmb{F}_i\cdot\delta\pmb{r}_i=-\sum_{i=1}^n\pmb{N}_i\cdot\delta\pmb{r}_i=0\tag{7}$

上式说明，对于一个仅受理想约束的平衡系统，所有主动力的虚功之和为0。这称为虚功原理。

以上为解决静力学的虚功原理，下面我们来到处解决动力学问题的达朗贝尔原理。对于，动力学问题，核心的方程为牛顿第二定律方程

$\pmb{F}_i+\pmb{N}_i=m_i\ddot{\pmb{r}}_i \tag{8}$

我们引入惯性力这一概念

$\pmb{F}_I=-m\ddot{\pmb{r}} \tag{9}$

则方程$(8)$可以改写为

$\pmb{F}_i+\pmb{N}_i+\pmb{F}_{Ii}=0\tag{10}$

这一改动的物理本质是，我们选择一个具有加速度的参考系，使其与系统相对静止，则在该参考系中，系统可以看作受力平衡，于是就把动力学问题转化为一个静力学问题。我们利用虚功原理，就有

$\sum_{i=1}^n(\pmb{F}_i+\pmb{F}_{Ii})\cdot\delta\pmb{r}_i=0\tag{11}$

§5 用广义坐标表示的虚功原理和达朗贝尔原理

上一节中，我们已经得到了虚功原理和达朗贝尔原理。但如果我们尝试去实际使用时，就会发现，由于我们所选择的虚位移具有很大的任意性，并不能直接甩掉虚位移而得到平衡条件。这里的问题在于，虚位移之间并不是完全独立的。否则，我们可以直接利用其独立性得到方程 $\pmb{F}_i=0$。

为解决这个困难，我们可以使用广义坐标。对于自由度为$s$的系统，我们可以用$s$个广义坐标去表示位移

$\pmb{r}_i=\pmb{r}_i(q_1,\cdots,q_s,t)~~~~(i=1,\cdots,n)\tag{1}$

于是虚位移也可以用广义坐标的虚位移——广义虚位移来表示，即

$\delta\pmb{r}_i=\sum_{j=1}^s\frac{\partial \pmb{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j \tag{2}$

于是虚功原理可以表示为

$\sum_{j=1}^s\sum_{i=1}^n\pmb{F}_i\cdot\frac{\partial \pmb{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j=0\tag{3}$

引入记号

$Q_j=\sum_{i=1}^n\pmb{F}_i\cdot\frac{\partial \pmb{r}_i}{\partial q_j}\tag{4}$

$Q_j$称为广义力。由于广义坐标不一定是长度的量纲，所以广义力也不一定是力的量纲。虚功原理可以写为

$\sum_{i=1}^sQ_i\delta q_i=0\tag{5}$

由于广义虚位移之间都是独立的，所以我们现在可以直接写出平衡条件：

$Q_i=0 \tag{6}$

拉格朗日力学

§6 拉格朗日方程

这一章之后，我们不再从牛顿运动定律出发，而是从最小作用量原理出发来导出我们的理论体系。根据这个原理，每个力学系统可以用一个确定的函数来表示，它是系统广义坐标、广义速度和时间的函数（这里我们借用上一章中的广义坐标的概念，不再重复说明）

$L(q_1,\cdots,q_s,\dot{q}_1,\cdots,\dot{q}_s,t) \tag{1}$

或简记为$L(q,\dot{q},t)$。今后我们将不加说明的使用这种记号。这个函数称为拉格朗日函数，也可简称为拉氏量。

现在假设我们对我们的系统写出了上述的函数。首先，为了得到系统的运动方程，我们假设广义坐标、广义速度和时间为独立的变量。如果我们固定系统的初态和末态：$\{q^{(1)},\dot{q}^{(1)},t_1\},\{q^{(2)},\dot{q}^{(2)},t_2\}$。系统的可能的运动过程为连接这两点（$2s+1$维空间中的点）的曲线段，这样的曲线段有无数条，而我们可以预料物体的真实的运动对应着唯一的一条曲线段。

现在，最小作用量原理断言，如果我们计算拉格朗日函数在每一条曲线段上的积分

$S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t \tag{2}$

真实运动过程的积分值必定是其中最小的。这个积分称为系统的作用量，因此这个第一性原理就称为最小作用量原理。

可以看出，这个积分可以看作是一个泛函，它将$(2s+1)$维空间中的曲线段映射为一个函数$S(q,\dot{q})$。接下来我们的任务就是求出这个函数的最小值。这里我将使用变分法来求解。

我们假设函数$q=q(t),\dot{q}=\dot{q}(t)$是使得系统作用量取得最小值的函数组。必须承认，这里有滥用记号的行为。以$q=q(t)$为例，前一个$q$指代系统的广义坐标，是与时间无关的独立变量，后一个$q$指代某一个具体函数，它将$t$映射到”正确“的广义坐标上。这一说明对其他情况也成立。

如果$\{q(t),\dot{q}(t)\}$是使得$S$取得最小值的函数组，那么用任意其他函数取代它们都会使得$S$增大。这里，我们考虑无限小的增量

$q(t)+\delta q(t),\dot{q}+\delta \dot{q}(t)$

当然，由于我们固定了曲线段的端点，所以

$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0 \tag{3}$

用$q(t)+\delta q(t)$代替$q(t)$使$S$产生的增量为

$\delta S=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)\mathrm{d}t-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t \tag{4}$

我们将被积函数展开为$\delta q,\delta \dot{q}$的幂级数，略去二阶及以上项，可得

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}\right)\mathrm{d}t\tag{5}$

于是最小作用量原理可以写为

$\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}\right)\mathrm{d}t=0\tag{6}$

注意到

$\delta\dot{q}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q\tag{7}$

于是积分式的第二项可以利用分部积分改写为

$\begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}\mathrm{d}t&=\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\mathrm{d}\delta q\\ &=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\bigg|_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\mathrm{d}t\tag{8} \end{align*}$

其中第一项为0。整理得

$\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q\mathrm{d}t=0\tag{9}$

由于$\delta q$的选择是任意的，因此这个等式只有当括号里的式子恒等于0才可能成立，于是我们就得到了

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0\tag{10}$

这就是我们要寻找的运动方程，它称为拉格朗日方程。如果我们知道系统的拉氏量，代入式（10）就可以得到系统的运动方程。

§7 拉氏量

这一节我们来导出拉氏量的一般形式。首先仅研究自由粒子的情形。我们假设粒子在参考系$S$中以速度$\pmb{v}$运动，对应的拉氏量为$L(\pmb{v})$，由于粒子是自由的，因此拉氏量应该与坐标无关。再假设有参考系$S’$相对$S$系以无限小速度$\pmb{\epsilon}$运动，粒子在该系中的速度为$\pmb{v}+\pmb{\epsilon}$，拉氏量为$L’$。由于空间的各向同性，拉氏量应该与速度的方向无关，则

$L=L(v^2),L'=L(v^2+\pmb{v}\cdot\pmb{\epsilon})$

将后者展开为$\pmb{\epsilon}$的幂级数得

$L'=L(v^2)+2\frac{\partial L}{\partial v^2}\pmb{v}\cdot\pmb{\epsilon} \tag{1}$

根据伽利略相对性原理，运动方程应该在任何惯性参考系中相同。而只有上式中第二项为关于时间和坐标的函数的全导数时才能保持运动方程不变，于是$\partial L/\partial v^2$与速度无关。则拉氏量与速度的平方成正比

$L=\frac{m}{2}v^2$

其中的$m/2$为比例系数。

§8 从达朗贝尔原理出发

这一节我们从达朗贝尔原理出发来得到拉格朗日方程。尽管推导的结果是一样，但拉格朗日力学是独立于牛顿力学，下面的推导只是说明牛顿力学和拉格朗日力学在经典力学中是等价的。达朗贝尔原理为

$(\pmb{F}_i-m\ddot{\pmb{x}}_i)\cdot\delta \pmb{x}_i=0 \tag{1}$

注意我们使用了爱因斯坦求和约定：对所有重复的指标求和。由于虚位移通常是不独立的，所以我们用广义虚位移将其改写为

$(\pmb{F}_i-m\ddot{\pmb{x}}_i)\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j=0 \tag{2}$

上式中的第一项可写为

$\pmb{F}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j=Q_j\delta q_j \tag{3}$

即广义力的形式。对第二项作以下处理

$\begin{align*} m\ddot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j&=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(m\dot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j\right)-m\dot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j\right)\\ &=\left[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(m\dot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\right)-m\dot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\right)\right]\delta q_j \tag{4} \end{align*}$

为了继续我们的推导，我们要先证明下面两个命题：

$\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}=\frac{\partial \dot{\pmb{x}}_i}{\partial \dot{q_j}} \tag{5}$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\right)=\frac{\partial \dot{\pmb{x}_i}}{\partial q_j}\tag{6}$

对于前者：

$\begin{align*} \frac{\partial \dot{\pmb{x}_i}}{\partial \dot{q_j}}&=\frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\frac{\mathrm{d} \pmb{x}_i}{\mathrm{d} t}\\ &=\frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\left(\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial t}+\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k\right)\\ &=\frac{\partial^2 \pmb{x}_i}{\partial t\partial \dot{q}_j}+\frac{\partial^2 \pmb{x}_i}{\partial q_k\partial \dot{q}_j}\dot{q}_k+\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_k}\frac{\partial \dot{q}_k}{\partial \dot{q}_j} \end{align*}$

其中，由于$\pmb{x}_i$仅为广义坐标和时间的函数，于是第一、二项为0；同时，广义速度之间也应该是独立的，所以${\partial \dot{q}_k}/{\partial \dot{q}_j}=\delta_{kj}$。于是

$\begin{align*} \frac{\partial \dot{\pmb{x}}_i}{\partial \dot{q_j}}&=\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_k}\delta_{kj}=\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j} \end{align*}$

对于第二个命题：

$\begin{align*} \frac{\partial \dot{\pmb{x}}_i}{\partial q_j}&=\frac{\partial }{\partial q_j}\frac{\mathrm{d} \pmb{x}_i}{\mathrm{d} t}\\ &=\frac{\partial }{\partial {q_j}}\left(\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial t}+\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k\right)\\ &=\frac{\partial^2 \pmb{x}_i}{\partial t\partial {q}_j}+\frac{\partial^2 \pmb{x}_i}{\partial q_k\partial {q}_j}\dot{q}_k+\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_k}\frac{\partial \dot{q}_k}{\partial {q}_j} \end{align*}$

由于广义坐标和广义速度之间是独立的，所以最后一项为0，于是

$\frac{\partial \dot{\pmb{x}_i}}{\partial q_j}=\frac{\partial^2 \pmb{x}_i}{\partial t\partial {q}_j}+\frac{\partial }{\partial q_k}\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial {q}_j}\dot{q}_k= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\right)$

于是式（3）可化为

$\begin{align*} m\ddot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j&=\left[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(m\dot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \dot{\pmb{x}_i}}{\partial \dot{q_j}}\right)-m\dot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \dot{\pmb{x}}_i}{\partial q_j}\right]\delta q_j \\ &=\left\{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left[\frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\left(\frac{1}{2}m\dot{\pmb{x}}_i^2\right)\right]-\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{1}{2}m\dot{\pmb{x}}_i^2\right)\right\}\delta q_j \tag{7} \end{align*}$

我们知道系统的动能为

$T=\frac{1}{2}m\dot{\pmb{x}}_i^2\tag{8}$

于是

$m\ddot{\pmb{x}}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\delta q_j=\left(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial T}{\partial q_j}\right)\delta q_j \tag{9}$

将式（3）和式(9)代入（2）式得

$\left[Q_j-\left(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial T}{\partial q_j}\right)\right]\delta q_j=0\tag{10}$

由于广义虚位移是独立的，所以式（10）恒等于0的充要条件为其所以广义虚位移的系数都为0，即

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j\tag{11}$

对于主动力全为保守力的情况，我们有

$\begin{align*} Q_j&=\pmb{F}_i\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\\ &=-\frac{\partial V}{\partial \pmb{x}_i}\cdot\frac{\partial \pmb{x}_i}{\partial q_j}\\ &=-\frac{\partial V}{\partial q_j} \tag{12} \end{align*}$

其中的$V$为保守力的势能。所以式（11）又可以化为

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial T}{\partial q_j}= -\frac{\partial V}{\partial q_j}\tag{13}$

由于势能只是广义坐标和时间的函数，所以

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}=0$

代入就得到了

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}=0$

定义一个新的函数$L=T-V$，则

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$

我们就得到了拉格朗日方程和拉格朗日函数的形式。

§9 守恒定律

由对称性导出的守恒律可以大大简化我们的计算。

由于时间具有平移对称性，所以封闭系统的拉氏量不显含时间，则

$\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \tag{1}$

代入拉格朗日方程

$\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\frac{\mathrm{d} \dot{q}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right) \tag{2}$

即

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-L\right)=0 \tag{3}$

称守恒量

$E=\dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-L \tag{4}$

为系统的能量。将$L=T(q,\dot{q})-U(q)$代入，则有

$E=\dot{q}_i\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-T+U \tag{5}$

如果$T$是广义速度的二次齐次函数，根据齐次函数的欧拉定理可得

$E=2T-T+U=T+U\tag{6}$

由于空间具有平移对称性，则如果系统有一无限小位移$\delta q$时，系统的拉氏量应该不发生变化，即$\delta L=0$。则有

$\begin{align*} \delta L&=\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\\ &=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\frac{\mathrm{d} \delta q_i}{\mathrm{d} t}\\ &=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i\\ &=0 \end{align*}$

由于$\delta q_i$是任意的，则有

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0 \tag{7}$