前言

第一章真空静电学
第二章介质中的静电学
第三章静电能
- §16 真空中的点电荷间的相互作用能
- §17 连续电荷分布的静电能
第四章静磁场
第五章介质中的磁场
静电学、静磁学的总结与对比
第六章稳恒电流
第七章电磁感应
第八章磁能
第九章交流电路
第十章麦克斯韦电磁理论

第一章真空静电学

§1 静电场

设真空中一个静止的点电荷$q$，其位矢为$\pmb{r}’$，检验电荷$Q$的位矢为$\pmb{r}$，则二者之间的作用力由库伦定律给出

$\pmb{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qQ}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}(\pmb{r}-\pmb{r}')\tag{1.1}$

其中$\pmb{r}’-\pmb{r}$为由$Q$指向$q$的间隔矢量。常数$\epsilon_0$是真空介电常数，国际单位制下的值为

$\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\mathrm{C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}}$

当空间中存在多个电荷时，检验电荷所受的电场力与这些电荷单独存在时所受的力的矢量和相等，这就是电场的经典叠加原理

$\pmb{F}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{|\pmb{r}-\pmb{r}_i'|^3}(\pmb{r}-\pmb{r}_i')\tag{1.2}$ $\pmb{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{|\pmb{r}-\pmb{r}_i'|^3}(\pmb{r}-\pmb{r}_i')\tag{1.3}$

上式对分立的电荷分布成立，对于连续电荷分布而言，上式改写为

$\pmb{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\mathrm{d}q(\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}(\pmb{r}-\pmb{r}')\tag{1.4}$

要明确是对$\pmb{r}’$积分。在线、面、体电荷分布时，有

$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\lambda(\pmb{r}')(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\mathrm{d}l'\tag{1.5}$ $E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint\frac{\sigma(\pmb{r}')(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\mathrm{d}S'\tag{1.6}$ $E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\frac{\rho(\pmb{r}')(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\mathrm{d}V'\tag{1.7}$

§2 静电场的散度和旋度

直接来求:

$\begin{align*} \nabla\cdot\pmb{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\nabla\cdot\iiint\frac{\rho(\pmb{r}')(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\mathrm{d}V'\tag{2.1} \end{align*}$

注意到这里的散度算符是对$\pmb{r}$求导，而积分是对$\pmb{r}’$，所以二者可以交换

$\begin{align*} \nabla\cdot\pmb{E}&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\rho(\pmb{r'})\mathrm{d}V'\nabla\cdot\frac{(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\\ &=\frac{1}{\epsilon_0}\iiint\rho(\pmb{r'})\delta^3(\pmb{r}-\pmb{r}')\mathrm{d}V'\\ &=\frac{\rho(\pmb{r})}{\epsilon_0}\tag{2.2} \end{align*}$

上述推导基于狄拉克函数的性质:$\nabla\cdot\frac{\hat{\pmb{r}}}{r^2}=4\pi\delta^3(\pmb{r})$和选择性$\int f(x)\delta(x)=f(0)$。我们得到

$\nabla\cdot\pmb{E}=\rho/\epsilon_0\tag{2.3}$

它称为高斯定理的微分形式。

将其两边对体积积分可得高斯定理的积分形式

$\iiint\mathrm{d}V\nabla\cdot\pmb{E}=\iint\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\iiint\rho\mathrm{d}V=\frac{Q}{\epsilon_0}\tag{2.4}$

上式可表述为：一封闭曲面上的电通量等于该曲面内所有电荷的代数和于真空介电常数的比值。
再来计算电场的旋度

$\begin{align*} \nabla\times\pmb{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\rho\mathrm{d}V'\nabla\times\frac{(\pmb{r}'-\pmb{r})}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|^3}=0\tag{2.5} \end{align*}$

这个式子称为静电场的环路定理的微分形式。将其在一曲面上积分得到积分形式

$\iint (\nabla\times\pmb{E})\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\oint \pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}=0\tag{2.6}$

这说明电场沿任意闭合回路的曲线积分为0，即电场的任意曲线积分与路径无关。或者说，静电场是一个保守场。

§3 电势

我们得到了静电场是一种保守场。根据斯托克斯公式，一个矢量的旋度在一个曲面上的积分可化作该矢量沿曲面上一封闭曲线的回路积分，即

$\iint\nabla\times\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\oint\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}=0\tag{3.1}$

这个结果称为静电场的环路定理。电场力所做的功可表示为

$\begin{align*} A&=q\int_a^b\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}\\ &=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}\int_{r_P}^{r_Q}\frac{1}{r^2}\mathrm{d}r\\ &=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r_P}-\frac{1}{r_Q})\tag{3.2} \end{align*}$

所以，电场力做功只与电荷的初末位置有关，而与具体路径无关。如果我们再次来考虑一个封闭回路，易得沿该回路一周电场力做功为0。这与式(3.1)是一致的。

一个旋度为$0$的矢量总可以表示为一个标量的梯度:

$\pmb{E}=-\nabla\phi\tag{3.3}$

(负号为一个习惯)其中的标量$\phi$为一新的物理量，称为电势。我们可以向电势加上一个任意常数而不改变电场。因此电势的值本身是无意义的，只有电势差是有意义的。将式(3.3)代入做功的表达式中：

$\begin{align*} A&=q\int_{r_Q}^{r_P}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\pmb{l}\\ &=q(\phi_P-\phi_Q)\tag{3.4} \end{align*}$

我们定义由电场做功而改变的能量为电势能，则

$\Delta W=W_Q-W_P=-A=q(\phi_Q-\phi_P)\tag{3.5}$

所以

$W_P=q\phi_P+\mathrm{const}\tag{3.6}$

同样，电势能的值也依赖于零点的选取.

将式(3.3)积分可得电势的表达式，积分上限取为无穷远处。取无穷远处为零势点。即

$\int^\infty_{\pmb{r}}\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}=\int_\infty^{\pmb{r}}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\pmb{l}\tag{3.7}$

右边等于

$\mathrm{RHS}=\phi(\pmb{r})-\phi(\infty)=\phi(r)\tag{3.8}$

左边等于

$\begin{align*} \mathrm{LHS}&=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\int^\infty_{\pmb{r}}\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^2}\cdot \mathrm{d}\pmb{l}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\bigg|^\infty_r\\ &=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\tag{3.9} \end{align*}$

所以

$\phi(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\tag{3.10}$

由于电场满足叠加原理，容易证明电势同样满足叠加原理，即

$\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{|\pmb{r}-\pmb{r}_i|}\tag{3.11}$

或

$\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\mathrm{d}q}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\tag{3.12}$

对于线、面、体电荷分布，电势为

$\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\lambda \mathrm{d}l'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|\tag{3.13}}$ $\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint \frac{\sigma \mathrm{d}S'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|\tag{3.13}}$ $\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint \frac{\rho \mathrm{d}V'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|\tag{3.13}}$

§4 几种典型带电导体的电场、电势分布

（1）均匀带电球体.设其电荷体密度为$\rho$，半径为$R$。由高斯定理可得空间中的电场分布为

$\pmb{E}=\left\{\begin{align*} &\frac{\rho}{3\epsilon_0}\pmb{r} &0<r\leq R\\ &\frac{\rho}{3\epsilon_0}\frac{R^3}{r^3}\pmb{r} &R<r \end{align*}\right.\tag{4.1}$

则空间中的电势分布为

$\phi=\left\{ \begin{align*} &\frac{\rho}{6\epsilon_0}(3R^2-r^2)&0<r\leq R\\ &\frac{\rho}{3\epsilon_0}\frac{R^3}{r}&R<r \end{align*} \right.\tag{4.2}$

（2）均匀带电球壳。设其电荷面密度为$\sigma$，半径为$R$。由高斯定理可得空间中的电场分布为

$\pmb{E}=\left\{\begin{align*} &0&0<r\leq R\\ &\frac{\sigma R^2}{\epsilon_0}\frac{\pmb{r}}{r^3} &R<r \end{align*}\right.\tag{4.3}$

则空间中的电势分布为

$\phi=\left\{ \begin{align*} &\frac{\sigma R}{\epsilon_0}&0<r\leq R\\ &\frac{\sigma R^2}{\epsilon_0r}&R<r \end{align*} \right.\tag{4.4}$

（3）无限大带电平板。设其电荷面密度为$\sigma$。其两侧的电场分布为

$\pmb{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\tag{4.5}$

则电势为一定值。但此时不能取无穷远处电势为$0$，因为带电体同样延申到无穷远处.

（4）无限长带电直杆。设其电荷线密度为$\lambda$。在柱坐标系中，其周围的电场必定只有$r$方向的分量，由高斯定理可得

$\pmb{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{\pmb{r}}{r^2}\tag{4.6}$

§5 电偶极子

电偶极子是指两个电荷量相等、电性相反的点电荷。设它们的电荷量为$\pm q$，相距$d$。它在远处产生的电势为

$\begin{align*} \phi&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{r_+}-\frac{q}{r_-}\right)\\ \end{align*}\tag{5.1}$

利用远场近似，将$r_+,r_-$展开为$d$的幂函数，保留到一次项

$r_+=\sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}-rd\cos\theta}\approx r-\frac{d}{2}\cos\theta\tag{5.2}$ $r_-=\sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}+rd\cos\theta}\approx r+\frac{d}{2}\cos\theta\tag{5.3}$

于是

$\begin{align*} \phi(\pmb{r})&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r-\frac{d}{2}\cos\theta}-\frac{1}{r+\frac{d}{2}\cos\theta})\\ &\approx\frac{qd\cos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2} \end{align*}\tag{5.4}$

定义电偶极矩为$\pmb{p}=q\pmb{d}$，其方向为正电荷指向负电荷。所以上式可写为

$\phi(\pmb{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\pmb{p}\cdot\pmb{r}}{r^3}\tag{5.5}$

其电场为

$\begin{align*} \pmb{E}&=-\nabla\phi\\ &=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\nabla\left(\frac{\pmb{p}\cdot\pmb{r}}{r^3}\right)\tag{5.6} \end{align*}$

其中

$\begin{align*} \nabla\left(\frac{\pmb{p}\cdot\pmb{r}}{r^3}\right)&=(\pmb{p}\cdot\pmb{r})\nabla\frac{1}{r^3}+\frac{1}{r^3}\nabla(\pmb{p}\cdot\pmb{r})\\ &=-\frac{3\pmb{p}\cdot\pmb{r}}{r^4}\hat{\pmb{r}}+\frac{1}{r^3}\big[\pmb{p}\times(\nabla\times\pmb{r})\\ &+\pmb{r}\times(\nabla\times\pmb{p})+(\pmb{p}\cdot\nabla)\pmb{r}+(\pmb{r}\cdot\nabla)\pmb{p}\big]\\ &=-\frac{3(\pmb{p}\cdot\pmb{r})}{r^4}\hat{\pmb{r}}+\frac{\pmb{p}}{r^3}\tag{5.7} \end{align*}$

代入得

$\pmb{E}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{\pmb{p}}{r^3}-\frac{3(\pmb{p}\cdot\pmb{r})}{r^4}\hat{\pmb{r}}\right)\tag{5.8}$

我们再来看电偶极子在外电场中的受力和力矩。所受电场力为

$\pmb{F}=q\pmb{E}(r_+)-q\pmb{E}(r_-)\tag{5.9}$

将电场按小量展开到一阶，略去高阶项

$\begin{align*} \pmb{F}&=q\big[\pmb{E}(\pmb{r})+\frac{\pmb{d}}{2}\cdot\nabla\pmb{E}-\pmb{E}(\pmb{r})+\frac{\pmb{d}}{2}\cdot\nabla\pmb{E}\big]\\ &=\nabla(\pmb{p}\cdot\pmb{E})\tag{5.10} \end{align*}$

可以看到，如果外场是均匀的，则电偶极子的合外力为0。再来看电场力相对原点的力矩

$\begin{align*} \pmb{M}&=q\pmb{r}_+\times\pmb{E}(r_+)-q\pmb{r}_-\times\pmb{E}(r_-)\\ &=q(\pmb{r}+\frac{\pmb{d}}{2})\times[\pmb{E}+\frac{\pmb{d}}{2}\cdot\nabla\pmb{E}]-q(\pmb{r}-\frac{\pmb{d}}{2})[\pmb{E}-\frac{\pmb{d}}{2}\cdot\nabla\pmb{E}]\\ &=q[\pmb{d}\times\pmb{E}+\pmb{r}\times(\pmb{d}\cdot\nabla)\pmb{E}]\\ &=\pmb{p}\times\pmb{E}+(\nabla\cdot\pmb{p})(\pmb{r}\times\pmb{E})\tag{5.6} \end{align*}$

电偶极矩通常是一个常矢量，所以

$\pmb{M}=\pmb{p}\times\pmb{E}\tag{5.7}$

§6 泊松方程和拉普拉斯方程

静电学的基本问题就是对于给定的电荷分布解出空间中的电场分布。这个问题可以由库仑定律解决，但对于大多数的电荷分布，库仑定律要求的积分是不好算出的。更优的办法是先求出电势分布，再求电势的梯度来求出电场分布。一般的，我们将求解电势分布的过程表述为解某个二阶偏微分方程——即泊松方程

$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{6.1}$

这个方程加上给定的边界条件等价于前面的各个积分。

在$\rho=0$的区域，泊松方程约化为拉普拉斯方程

$\nabla^2\phi=0\tag{6.2}$

第二章介质中的静电学

§7 电场对电荷体系的作用

我们知道，处于外场中的电荷体系的受力为

$\pmb{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\rho(\pmb{r})\pmb{E}(\pmb{r})\mathrm{d}V\tag{7.1}$

力矩为

$\pmb{M}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\rho(\pmb{r})\pmb{r}\times\pmb{E}(\pmb{r})dV\tag{7.2}$

但当我们试图计算电荷体系本身产生的电场对该体系的作用时，上述公式不再适用，因为由库仑定律得出的电场分布在存在电荷的几何点处会出现发散现象。

§8 静电场中的导体

静电场中的导体有如下几个特点：
（1）外加的电场会使导体表面出现感应电荷，感应电荷产生的附加电场$\pmb{E}’=-\pmb{E}$，即导体内部的电场为0。
（2）由于导体内部的电场处处为0，所以导体内部的电势差处处为0，即导体时等势体。
（3）导体内部的电荷密度处处为0。可以通过（1）和高斯定理得到。
（4）导体的感应电荷只出现在导体表面，满足$\sigma_e=\epsilon_0 E$。其中$E$是导体表面外侧的场强大小.
（5）如果导体中存在空腔且空腔中存在电荷分布，则内表面上也会出现感应电荷。我们在导体外构造一个半径为$r$的高斯球面。由于导体上的感应电荷的和为0，则该高斯面上的电通量正比于导体所包含的电荷量，且电场分布与点电荷电场分布一致。这称为静电屏蔽现象。

§9 电容和电容器

对于一个孤立的球形导体，假设其带电量为$Q$，半径为R，则其电势为$\phi=Q/4\pi\epsilon_0R$。可以看到，其带电量和电势之间存在一个只与其几何性质有关的比例系数

$C=\frac{Q}{\phi}=4\pi\epsilon_0R\tag{9.1}$

该比例系数称为该球形导体的电容。电容表示使一个导体升高单位电势所需的电荷量。利用导体的电容属性，我们可以制作电容器来储存电荷。

实际的电容器通常由两块十分靠近又互相绝缘的导体板组成。
（1）平行板电容器。两块面积为$S$的金属板，距离为$d$。两板各自带电量$\pm Q$。则电荷面密度为$\sigma=Q/S$。如果忽略两金属板的边际效应，即将金属板当成无限大平板处理，则两板间电场为均匀电场，大小为

$E=2\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{Q}{\epsilon_0 S}\tag{9.2}$

板间电压为

$U=Ed=\frac{Qd}{\epsilon_0S}\tag{9.3}$

则平行板电容器的电容为

$C=\frac{Q}{U}=\frac{\epsilon_0S}{d}\tag{9.4}$

（2）两同心导体球壳，其半径分别为$R_A$和$R_B$，分别带电$\pm Q$。由高斯定理易得两球壳间的电场分布为

$\pmb{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\tag{9.5}$

则两球壳间的电势差为

$U=\int_{R_A}^{R_B}E\mathrm{d}r=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B}\right)\tag{9.6}$

则该种电容器的电容为

$C=\frac{Q}{U}=4\pi\epsilon_0\frac{R_AR_B}{R_B-R_A}\tag{9.7}$

在$R_B\to\infty$，$R_A$保持有限值时，$C\to4\pi\epsilon_0 R_A$，这与孤立球形电容器的电容公式一致。

（3）两同轴圆柱形导体壳。设其半径分别为$R_A$和$R_B$，柱长为$l$，沿母线方向的电荷线密度为$\lambda$。如果$l\gg(R_B-R_A)$，我们就可以忽略其边际效应。按高斯定理，两导体间场强为

$E=\frac{\lambda R_A}{\epsilon_0r}\tag{9.8}$

则电势差为

$U=\int_{R_A}^{R_B}E\mathrm{d}r=\frac{\lambda R_A}{\epsilon_0}\ln\frac{R_B}{R_A}\tag{9.9}$

则电容为

$C=\frac{2\pi R_A l\lambda }{\frac{\lambda R_A}{\epsilon_0}\ln\frac{R_B}{R_A}}=\frac{2\pi \epsilon_0l}{\ln\frac{R_B}{R_A}}\tag{9.10}$

多个电容器连接时，总的电容满足

$n$个电容器串联：
$\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}\tag{9.11}$
$n$个电容器并联：
$C=\sum_{i=1}^nC_i\tag{9.12}$

§10 外电场中的电介质的极化

对于绝缘的电介质，会在外场的作用下产生极化电荷，并在电介质内部产生去极化电场。与导体不同的是，感应电荷所产生的电场的效应是使得导体内部的电场完全消失，而极化电荷产生的去极化电场只能做到减弱电介质中的电场。由于组成电介质的分子、原子不同，产生极化的原因也不同。

组成电介质的分子有两种：无极分子和有极分子。由于分子由带正负电荷的原子组成，平均来说，分子中存在由于原子电荷产生的正负电荷中心。对于部分分子，其正负电荷中心完全重合，在不外加电场的情况下可以完全看作一个不带电体。而另一部分分子的正负电荷中心并不完全重合，所以对外界表现为一个电偶极子。

我们首先来讨论无极分子的极化。在外场的作用下，它的正负电荷中心会发生相对位移，导致其在电场方向上产生一个电偶极矩。宏观来看，无数个电偶极子首尾相连，则在电介质内部净电荷为$0$，只在电介质与外电场垂直的表面上出现电荷。这种极化称为位移极化，其效应是使得电介质表面上出现束缚面电荷$\sigma_e$。

其次是有极分子的极化。虽然单个的分子具有电偶极矩，但大量的分子由于做无规则的热运动，其宏观的电偶极矩为零。在外加电场的影响下，每个分子受到一个力矩，最终的效果会使分子全体的电偶极矩有一个取向，沿外电场的方向。这个极化称为取向极化，其效果是使得电介质中产生一个体分布的电偶极矩。当然，存在取向极化的电介质中也会存在位移极化，但取向极化的效应比位移极化的效应大得多，大致在一个数量级左右。我们定义一个物理量：极化强度矢量$\pmb{P}$来描述电极化现象

$\pmb{P}=\frac{\mathrm{d}\pmb{p}}{\mathrm{d}V}\tag{10.1}$

即单位体积中的电偶极矩。

§11 极化电荷的电场

在理解了电介质在外加电场中产生的极化电荷的来源后，我们来研究其极化电荷所产生的电场.不过我们先来求其电势，再通过散度定理就可以得到电场分布.设电介质中的极化强度矢量为$\pmb{P}$

$\begin{align*} \phi&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{(\pmb{r}'-\pmb{r})\cdot\mathrm{d}\pmb{p}}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|^3}\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{(\pmb{r}'-\pmb{r})\cdot\pmb{P}(\pmb{r})}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|^3}\mathrm{d}\tau \end{align*}$

注意到

$\frac{\pmb{r}'-\pmb{r}}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|^3}=\nabla\frac{1}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|}$

则通过分部积分和散度定理，上面的体积分可以化为

$\begin{align*} \phi&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\pmb{P}\cdot\nabla\frac{1}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\nabla\cdot\left(\frac{\pmb{P}}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|}\right)\mathrm{d}\tau -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\nabla\cdot\pmb{P}}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|}\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\int_{\partial V}\frac{\pmb{P}\cdot\hat{\pmb{n}}}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|}\mathrm{d}S'-\int_V\frac{\nabla\cdot\pmb{P}}{|\pmb{r}'-\pmb{r}|}\mathrm{d}V'\right)\tag{11.1} \end{align*}$

其中，第一项可认为是由一个面电荷分布所产生的电势

$\sigma_e=\pmb{P}\cdot\hat{\pmb{n}}\tag{11.2}$

$\hat{\pmb{n}}$为电介质表面的外法向单位矢量.第二项可看作一个体电荷分布所产生的电势

$\rho_e=-\nabla\cdot\pmb{P}\tag{11.3}$

实际上，这个结论是与我们前面对极化的分析是一致的，前者就是束缚面电荷，后者是束缚体电荷.

§12 极化强度矢量和电场的关系

某一点的$\pmb{P}$是由该点的总电场$E=E_0+E’$决定的，其中$E_0$是自由电荷产生的电荷，$E’$是极化电荷产生的退极化电场.$\pmb{P}$和$\pmb{E}$的关系就是该电介质的极化规律.大致分为下面几类：

各向同性电介质.该种电介质极化后内部的$\pmb{P}$和$\pmb{E}$的方向相同，大小成正比 $\pmb{P}=\chi_e\epsilon_0\pmb{E} \tag{12.1}$

其中$\chi_e$称为极化率，由电介质的性质决定.当$\pmb{E}$较小时，极化率与$\pmb{E}$无关，则介质属于线性介质.当$\pmb{E}$很大时，极化率与$\pmb{E}$有关，介质转变为非线性介质.另外，对于存在取向极化的介质来说，如水、氨等，它们的极化率通常还和温度有关.

各向异性电介质.在该种介质中，$\pmb{P}$和$\pmb{E}$的关系很复杂，极化率不再是一个标量，而是一个三阶张量 $P_i=\epsilon_0\chi_i^jE_j \tag{12.2}$

一些晶体材料，如石英，就属于各向异性电介质.对于线性介质，极化率张量与$\pmb{E}$无关，且为对称张量

$\chi_i^j=\chi_j^i \tag{12.3}$

铁电体

§13 电介质与电容器

在平行板电容器中充满极化率为$\chi_e$的各向同性线性电介质，两板上所带电荷的大小为$Q$.则在电介质与极板的接触面上会产生自由面电荷$\sigma_e$.有以下几个方程

$\begin{align*} E&=E_0+E'\\ E_0&=\sigma_0/\epsilon_0\\ &=Q/\epsilon_0S\\ E'&=-\sigma_e/\epsilon_0\\ &=-P/\epsilon_0\\ &=-\chi_eE \end{align*}$

解得

$E=\frac{Q}{(1+\chi_e)\epsilon_0S} \tag{13.1}$ $\sigma_e=\chi_e\epsilon_0E=\frac{\chi_e}{1+\chi_e}\frac{Q}{S} \tag{13.2}$

电容器的电容为

$\begin{align*} U&=\int_0^dE\mathrm{d}r=\frac{Qd}{(1+\chi_e)\epsilon_0S}\\ C&=\frac{Q}{U}=(1+\chi_e)\frac{\epsilon_0S}{d}\tag{13.3} \end{align*}$

定义介质的介电常数$\epsilon=(1+\chi_e)\epsilon_0$.

可见，在电容器中充入电介质会使得电容器的电容增加.当储存的电荷量一致时，电容更大的电容器具有更强的耐压能力.

§14 电介质中静电场的基本定理

与真空中的静电场所满足的高斯定理和环路定理类似的，我们来推到电介质中静电场所满足的基本定理.

$\begin{align*} \nabla\cdot\pmb{E}&=\nabla\cdot\pmb{E}_0+\nabla\cdot\pmb{E}'\\ &=\frac{\rho_0}{\epsilon_0}-\frac{\nabla\cdot\pmb{P}}{\epsilon_0}\\ &=\frac{\rho+\rho_e}{\epsilon_0}\tag{14.1} \end{align*}$

可见，将高斯定理中出现的电荷改写为自由电荷和极化电荷的总和，就得到了介质中的高斯定理.

引入辅助矢量电位移矢量$\pmb{D}=\epsilon_0\pmb{E}+\pmb{P}$，那么就有

$\nabla\cdot\pmb{D}=\rho_0\tag{14.2}$

对于前面所提到的线性各向异性介质，我们有

$\pmb{D}=\epsilon\pmb{E} \tag{14.3}$

使用电位移矢量的好处是高斯定理中只出现自由电荷，计算会较为简便.

§15 边值关系

在研究电介质中的电场分布时，如果碰到介质的交界面时，$\pmb{E}$通常会发生突变。以下假设两种介质的介电常数分别为$\epsilon_1$和$\epsilon_2$，界面上有大小为$\sigma_e$的极化面电荷和$\sigma_0$的自由面电荷。

在界面处作一圆柱形的高斯盒。取底面积趋于0的极限，可保证侧面与界面处处垂直。根据高斯定理

$\nabla\cdot\pmb{D}=\frac{(\pmb{D}_2-\pmb{D}_1)\cdot\hat{\pmb{n}}}{\mathrm{d}s}=\frac{\sigma_0}{\mathrm{d}s}\tag{15.1}$

其中的$\hat{\pmb{n}}$为由1侧指向2侧的单位矢量，即

$(\pmb{D}_2-\pmb{D}_1)\cdot\hat{\pmb{n}}=\sigma_0 \tag{15.2}$

再构造一个跨越边界的无限小矩形回路，短边与界面垂直。根据环路定理

$\nabla\times(\pmb{E}_2-\pmb{E}_1)=0 \tag{15.3}$

即电场强度的平行于介质界面的分量连续：

$E_2^{\vert\vert}-E_1^{\vert\vert}=0 \tag{15.4}$

第三章静电能

§16 真空中的点电荷间的相互作用能

设空间中$N$个点电荷分布，位矢为$q_i(i=1，\cdots，N)$，第$i$个电荷和第$j$个之间的间隔矢量记作$\pmb{r}_{ij}=-\pmb{r}_{ji}=\pmb{r}_j-\pmb{r}_i$.我们构建这个体系的过程可以看作从无穷远处一个个移入点电荷的过程.此时空间中已存在的电荷会对后来的电荷做功，因此这个体系储存了一定的能量.当移入第$j$个电荷时，前$j-1$个电荷对其做功

$\begin{align*} W_j&=\frac{q_j}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{j-1}\frac{q_j}{|\pmb{r}_{ij}|}\tag{16.1} \end{align*}$

再对所有的$j$求和

$\begin{align*} W_E&=\sum_{j=2}^N \frac{q_j}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{j-1}\frac{q_i}{|\pmb{r}_{ij}|}\\ \end{align*}$

可见，该相互作用能与电荷移入的顺序和路径无关，因为最后该能量只取决于空间中的电势分布.让我们将每两个电荷间的求和分为两半

$\begin{align*} &W_E=\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\underset{(j\not=i)}{\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N} \frac{q_iq_j}{|\pmb{r}_{ij}|} \tag{16.2} \end{align*}$

§17 连续电荷分布的静电能

首先讨论空间中只存在自由电荷的情况.设有体电荷分布$\rho(\pmb{r})$，将求和化为积分

$W_E =\frac{1}{2}\iiint_V\rho(\pmb{r})\phi'(\pmb{r})\mathrm{d}V\tag{17.1}$

式中的电势是指除$\pmb{r}$处的电荷外所有电荷在该处所产生的电势的代数和。假设该处体积元为一球体，其上的电荷体密度可视作一常数。由球形均匀带电体球内的电势公式得

$\phi_{\mathrm{d}V}=\frac{\rho}{6\epsilon_0}(3R^2-r^2)$

可见，当体积元的半径趋于0时，上式更快地趋于0，则

$\phi'(\pmb{r})=\phi(\pmb{r})-\phi_{\mathrm{d}V}=\phi(\pmb{r}) \tag{17.2}$

即式(17.1)中的电势可用该点的电势替代

$W_E=\frac{1}{2}\iiint_V\rho(\pmb{r})\phi(\pmb{r})\mathrm{d}V\tag{17.3}$

面电荷分布的情况类似。当我们关注一个面元在其自身处所产生的电场时，我们可以近似地使用无限大平面的电场公式。因为对于一个点来说，一个面元总是其高阶无穷大。所以它在自身处产生的电势为$\sigma a/2\epsilon_0$（$a$为面元的半径），该电势在$a\to 0$是同样快得趋于0。所以

$W_E=\frac{1}{2}\iint_S\sigma(\pmb{r})\phi(\pmb{r})\mathrm{d}S \tag{17.4}$

那对于线电荷分布来说呢？实际上，我们已经看到，对于体电荷分布来说，体元在其自身处产生的电势比其半径更快地趋于0；而对于面电荷分布，面元在其自身处所产生的电势与其半径一样快地趋于0。可以猜想，对于线电荷分布，线元在其自身处所产生的电势比起线度更慢地趋于0。与面元类似的，我们直接使用无限长带电棒的公式来计算

$E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}$ $\begin{align*} \phi_{\mathrm{d}l}&=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}r}{r}\\ &=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln r\Big|^\infty_0 \end{align*}$

可见，线元在其自身处所产生的电势会按$\ln r$趋于无穷大。此外，我们甚至不能从总电势中减去线元本身产生的电势再来积分计算，这同样会出现发散的现象。

这里有一个优美的方式改写式（17.3）。首先用高斯定理改写其中的$\rho$：

$W_E=\frac{\epsilon_0}{2}\iiint_V(\nabla\cdot\pmb{E})\phi\mathrm{d}V\tag{17.5}$

再做分部积分

$\begin{align*} W_E&=\frac{\epsilon_0}{2}\iiint_V[\nabla\cdot(\pmb{E}\phi)-\pmb{E}\cdot\nabla\phi]\mathrm{d}V\\ &=\frac{\epsilon_0}{2}\iint_{\partial V}\phi\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}-\frac{\epsilon_0}{2}\iiint_V\pmb{E}\cdot\nabla\phi\mathrm{d}V\tag{17.6} \end{align*}$

假设我们的积分区域为包含所有电荷的整个空间，则式（17.6）的前一项为0。再利用$\nabla\phi=-\pmb{E}$，则

$W_E=\frac{\epsilon_0}{2}\iiint_V\pmb{E}^2\mathrm{d}V\tag{17.7}$

我们可以定义电场的能量密度$w_E$

$w_E=\frac{\epsilon_0\pmb{E}^2}{2}\tag{17.8}$

对于电介质，我们同样可以定义能量密度

$w_E=\frac{\epsilon\pmb{E}^2}{2}=\frac{\pmb{D}\cdot\pmb{E}}{2}\tag{17.9}$

对于带电体系统，总电场是各个带电体产生的电场的矢量和$\pmb{E}=\sum_{i=1}^N\pmb{E}_i$，于是

$\begin{align*} w_E&=\frac{\epsilon_0}{2}\left(\sum_{i=1}^N\pmb{E}_i\right)\\ &=\frac{\epsilon_0}{2}\sum_{i=1}^N\pmb{E}_i^2+\frac{\epsilon_0}{2}\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N\pmb{E}_i\cdot \pmb{E}_j \end{align*}$

前一项为自能，后一项为相互作用能。

第四章静磁场

§18 洛伦兹力

两条平行放置的载流导线，如果电流方向相同，则会产生相互吸引的力，若方向相反，则会产生相互排斥的力。这与只存在电场的情况显然不同。这说明存在新的相互作用，称之为磁力。对应的有磁场。假如空间中同时存在电场和磁场，则一个运动电荷所收到的力为

$\pmb{F}=q(\pmb{E}+\pmb{v}\times\pmb{B})\tag{18.1}$

这就是洛伦兹力定律。这是理论的一个基本原理，其正确性可由实验验证。

由式（18.1）可以看出，磁力与粒子的速度时刻垂直，所以磁力并不能做功。即

$\mathrm{d}W=\pmb{F}_{\mathrm{mag}}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}=q(\pmb{v}\times\pmb{B})\cdot\pmb{v}\mathrm{d}t=0 \tag{18.2}$

§19 电流与电流密度

运动的电荷就会形成电流。电流的大小由单位时间内通过某一截面的总电荷量来衡量。如果导线中运动电荷的线密度为$\lambda$，其速度为$\pmb{v}$。电流实际上是一个矢量

$\pmb{I}=\lambda\pmb{v} \tag{19.1}$

要注意的是，这里的$\lambda$是运动电荷的线密度。导线中可能存在更多的静止电荷，但它们对电流没有贡献，所以不计入我们这里所用的线密度。一条处于外磁场中的载流导线所受到的磁力为

$\begin{align*} \pmb{F}&=\int(\pmb{v}\times\pmb{B})\mathrm{d}q\\ &=\int (\pmb{v}\times\pmb{B})\lambda\mathrm{d}l\\ &=\int(\pmb{I}\times\pmb{B})\mathrm{d}l\tag{19.2} \end{align*}$

如果电流的方向和$\mathrm{d}\pmb{l}$相同，则上式可以写为

$\pmb{F}=\int I(\mathrm{d}\pmb{l}\times\pmb{B})\tag{19.3}$

由于一根载流导线上的电流通常是一个常量，则

$\pmb{F}=I\int\mathrm{d}\pmb{l}\times\pmb{B}\tag{19.4}$

如果电流仅分布在介质表面上，我们就用面电流密度来描述。考虑一个宽度为$\mathrm{d}s$、与电流平行的宽带，如果带中的电流为$\mathrm{d} \pmb{I}$，则面电流密度为

$\pmb{K}=\frac{\mathrm{d}\pmb{I}}{\mathrm{d}s} \tag{19.5}$

如果面运动电荷密度为$\sigma$，运动速度为$\pmb{v}$，则有

$\pmb{K}=\sigma\pmb{v}\tag{19.6}$

面电流所受的磁场力为

$\pmb{F}=\iint (\pmb{K}\times\pmb{B})\mathrm{d}S\tag{19.7}$

要注意的是，在有面电流密度存在时，$\pmb{B}$在介质面处也是不连续的。

类似的，如果电流分布在三维空间中，我们就使用体电流密度来描述。考虑一个与该点电流方向垂直的无限小截面$\mathrm{d}S$，该点的电流为$\mathrm{d} \pmb{I}$，则体电流密度为

$\pmb{J}=\frac{\mathrm{d}\pmb{I}}{\mathrm{d}S} \tag{19.8}$

同样地

$\pmb{J}=\rho\pmb{v} \tag{19.9}$

其所受的磁场力为

$\pmb{F}=\iiint(\pmb{J}\times\pmb{B})\mathrm{d}V\tag{19.10}$

根据式（19.8），通过一个闭合曲面$S$的电流为

$I=\iint_S \pmb{J}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\iiint_V(\nabla\cdot\pmb{J})\mathrm{d}V\tag{19.11}$

后一个等号由高斯公式推出。由于电荷守恒定律，封闭曲面$S$上的电流代数和对应了其包围的体积$V$内的电荷的变化量，即

$I=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint\rho \mathrm{d}V=\iiint(-\frac{\partial\rho}{\partial t})\mathrm{d}V\tag{19.12}$

连立式（19.11）和（19.12），且它们对任意体积都成立，则有

$\nabla\cdot\pmb{J}+ \frac{\partial\rho}{\partial t}=0\tag{19.13}$

这就是电荷守恒的数学表达式，称为连续性方程。

§20 毕奥-萨伐尔定律

当电流不随时间改变且各处的电荷密度也不变时，这种电流称为稳恒电流。这时连续性方程变为

$\nabla\cdot\pmb{J}=0\tag{20.1}$

一条稳恒线电流产生的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出：

$\begin{align*} \pmb{B}(\pmb{r})&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_L\frac{\pmb{I}\times(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3} \mathrm{d}l'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}I\int_L\frac{\mathrm{d}\pmb{l}'\times(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3} \tag{20.2} \end{align*}$

其中的$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\mathrm{N/A^2}$是一个新的普适常数，这是一个确定值，因为据此可以定义$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$又可定义$\mathrm{C}$。

对于面电流分布和体电流分布，毕奥-萨伐尔定律分别为

$\pmb{B}(\pmb{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iint\frac{\pmb{K}\times(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3} \mathrm{d}S \tag{20.3}$ $\pmb{B}(\pmb{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\frac{\pmb{J}\times(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3} \mathrm{d}V \tag{20.4}$

但是对于单运动电荷来说，并没有对应的公式。因为这时会产生辐射，或者相对论效应不可忽略。

§21 $\pmb{B}$的散度与旋度

先来计算$\pmb{B}$的散度

$\begin{align*} \nabla\cdot\pmb{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\cdot\int_L\frac{\pmb{I}\times(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\mathrm{d}l'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_L\nabla\cdot\left(\pmb{I}\times\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right) \mathrm{d}l'\\ \end{align*}$

其中

$\begin{align*} \nabla\cdot\left(\pmb{I}\times\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right)&=\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\cdot(\nabla\times \pmb{I})-\pmb{I}\cdot(\nabla\times\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3})\\ &=0\tag{21.1} \end{align*}$

因为$\pmb{I}$与坐标$(x,y,z)$无关，所以第一项等于0。因此有

$\nabla\cdot\pmb{B}=0\tag{21.2}$

再来计算$\pmb{B}$的旋度。

$\begin{align*} \nabla\times\pmb{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_\Omega\nabla\times\left(\pmb{J}\times\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right)\mathrm{d}V' \end{align*}$

其中

$\begin{align*} \nabla\times\left[\pmb{J}\times\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right]&=\pmb{J}(\nabla\cdot\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3})-(\pmb{J}\cdot\nabla)\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\\ \end{align*}$

第一项

$\pmb{J}(\nabla\cdot\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3})=4\pi \pmb{J}\delta\left(\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\right) \tag{21.3}$

考虑第二项的x坐标分量

$\begin{align*} (\pmb{J}\cdot\nabla)\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}&=-(\pmb{J}\cdot\nabla')\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\\ &=\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}(\nabla'\cdot \pmb{J})-\nabla'\cdot\left(\pmb{J}\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right)\\ \end{align*}$

其中

$\nabla'=\left\{\frac{\partial }{\partial x'},\frac{\partial }{\partial y'},\frac{\partial }{\partial z'}\right\}$

因为稳恒电流电流的散度为0，所以

$(\pmb{J}\cdot\nabla)\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}=-\nabla'\cdot\left(\pmb{J}\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right) \tag{21.4}$

所以

$\begin{align*} \nabla\times\pmb{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \left[ 4\pi \pmb{J}\delta\left(\frac{\pmb{r}-\pmb{r}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\right)+3\nabla'\cdot\left(\pmb{J}\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\right)\right]\mathrm{d}V'\\ &=\mu_0\pmb{J}+\frac{3\mu_0}{4\pi}\iint_{\partial V}\pmb{J}\frac{x-x'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^3}\cdot \mathrm{d}\pmb{S}'\\ &=\mu_0\pmb{J}\tag{21.5} \end{align*}$

我们将体积取为包含所有电流的区域，于是上式第二行第二项化作的面积分等于0，因为电流在边界面上为0。

使用斯托克斯定理，可以将它转化为积分形式

$\begin{align*} \iint_S(\nabla\times\pmb{B})\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\oint_{\partial S}\pmb{B}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}&=\mu_0\iint_S\pmb{J}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\tag{21.6} \end{align*}$

现在，$\iint_S\pmb{J}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}$给出了穿过面$S$的所有电流的代数和$I$，所以

$\oint_{\partial S}\pmb{B}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}=\mu_0 I \tag{21.7}$

这就是安培定理的积分形式。

§22 边界条件

与静电学类似的，磁场的边界条件为

$(\pmb{B}_2-\pmb{B}_1)\cdot\hat{\pmb{n}}=0\tag{22.1}$ $(\pmb{B}_2^{||}-\pmb{B}_1^{||})=\mu_0(\pmb{K}\times\hat{\pmb{n}}) \tag{22.2}$

与标势相同，矢势在任何界面上都是连续的。但$\pmb{A}$的散度继承了磁场的不连续性：

$\frac{\partial \pmb{A}_2}{\partial \hat{\pmb{n}}}-\frac{\partial \pmb{A}_1}{\partial \hat{\pmb{n}}}=-\mu_0\pmb{K}\tag{22.3}$

§23 磁矢势

与静电学类似地，由$\nabla\cdot\pmb{B}=0$我们可以引入一个矢量函数$\pmb{A}$，使$\pmb{B}=\nabla\times\pmb{A}$，因为一个矢量的旋度的散度总是等于0的。而对于安培定理

$\nabla\times\pmb{B}=\nabla\times(\nabla\times\pmb{A})=\nabla(\nabla\cdot\pmb{A})-\nabla^2\pmb{A}$

注意到任意梯度的旋度都为0，所以我们可以向矢势上加上任意函数的梯度而不改变磁场，令$\pmb{A}\to\pmb{A}+\nabla\lambda$，其中

$\lambda=\nabla\cdot\pmb{A}\tag{23.1}$

我们就得到了

$\nabla^2\pmb{A}=-\mu_0\pmb{J}\tag{23.2}$

方程的解与毕奥-萨法尔定律类似

$\pmb{A}(\pmb{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint \frac{\pmb{J}(\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\mathrm{d}V'\tag{23.3}$

对于线电流和面电流

$\pmb{A}(\pmb{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\pmb{I}}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\mathrm{d}l'\tag{23.4}$ $\pmb{A}(\pmb{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iint\frac{\pmb{K}}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\mathrm{d}S'\tag{23.5}$

我们知道标势也可以加上一个任意标量而不改变电场，现在矢势有类似的性质。这种性质称为规范对称性，这个被任意选取的标量函数称为规范。

矢势与标势一样，都不是直接观测量。

§24 磁偶极子

与静电学类似的，一个理想的无限小环形电流可以看作一个理想的磁偶极子。它在外磁场中的受力和力矩都有较简单的形式。设在原点处$xOy平面内$有一环形电流，大小为$I$，半径为 $R$，先来计算它在$\pmb{r}$处产生的的势

$\begin{align*} \pmb{A}&=\frac{\mu_0}{4\pi}I\oint_L\frac{\mathrm{d}\pmb{l}'}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\tag{24.1}\\ \end{align*}$

在远场近似下$r\gg r’$，有

$\frac{1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\approx\frac{1}{r}+\frac{\pmb{r}\cdot\pmb{r}'}{r^3}\tag{24.2}$

代入

$\begin{align*} \pmb{A}&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_L\left(\frac{1}{r}+\frac{\pmb{r}\cdot\pmb{r}'}{r^3}\right)\mathrm{d}\pmb{l}'\\ &=\frac{\mu_0I}{4\pi r^3}\int_L(\pmb{r}\cdot\pmb{r}')\mathrm{d}\pmb{l}'\\ &=\frac{\mu_0I}{4\pi r^3}\int_L(xR\cos\theta+yR\sin\theta)(\hat{\pmb{z}}\times \pmb{r})\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{\mu_0R^2I}{4\pi r^3}\int_L(x\cos\theta+y\sin\theta)(\cos\theta \hat{\pmb{y}}-\sin\theta\hat{\pmb{x}})\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{\mu_0R^2I}{4r^3}(-y\hat{\pmb{x}}+x\hat{\pmb{y}})\\ &=\frac{\mu_0R^2I}{4r^3}\hat{\pmb{z}}\times \pmb{r}\tag{24.3} \end{align*}$

我们定义该环形电流的磁偶极矩为

$\pmb{m}=SI\hat{\pmb{n}}=\pi R^2I\hat{\pmb{z}}\tag{24.4}$

则式（24.3）可以改写为

$\pmb{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\pmb{m}\times\pmb{r}}{r^3} \tag{24.5}$

进一步可求出空间中的磁场分布

$\begin{align*} \pmb{B}&=\nabla\times \pmb{A}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\times\left(\frac{\pmb{m}\times\pmb{r}}{r^3}\right)\\ &=-\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{\pmb{m}}{r^3}-\frac{3(\pmb{m}\cdot\pmb{r})\hat{\pmb{r}}}{r^4}\right]\tag{24.6} \end{align*}$

可以看到，一个理想的磁偶极子的场的形式与一个理想的电偶极子的完全相同！这揭示了电磁场深层的统一性。类似的，一个磁偶极子在外磁场中的受力为

$\pmb{F}=\nabla(\pmb{m}\cdot\pmb{B})\tag{24.7}$

所受力矩为

$\pmb{M}=\pmb{m}\times\pmb{B} \tag{24.8}$

第五章介质中的磁场

§25 顺磁体、抗磁体

在原子级别上，围绕原子旋转的电子和电子的自旋可以看作微小的环形电流。这些环形电流如此之小，以至于在宏观来看它们都是理想的磁偶极子。通常，由于原子（分子）的热运动，这些磁偶极子相互抵消。但在施加外磁场后，这些磁偶极子会出现有序的排列，介质因此显磁性，或称为磁化。

但与极化方向几乎与外电场方向相同的电极化相比，有些物质的磁化方向与外磁场方向相同，而另一些物质的磁化方向与外磁场相反。这两种物质分别称为顺磁体和抗磁体。

由式（24.8），我们看到，外磁场对偶极子的力矩倾向于将偶极子拽向外磁场的方向，正是这个力矩导致了顺磁性。根据泡利不相容原理，成对的电子出现时必须要有相反的自旋，因此它们的磁矩也相反，这个效应有效降低了总体上的力矩。因此，顺磁性通常出现在拥有奇数电子的原子和分子中。其次，热运动会大大消除这种有序的排列倾向。

电子除了自旋外，还围绕原子旋转。简单起见，我们将这个运动等效为一个匀速圆周运动，等效电流为

$I=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2\pi R}\tag{25.1}$

则电子的轨道磁偶极矩为

$\pmb{m}=-\frac{1}{2}evR\hat{z}\tag{25.2}$

假设外磁场垂直于轨道平面，则电子受到的洛伦兹力为

$\begin{align*} \pmb{F}&=-e(\pmb{E}+\pmb{v}\times \pmb{B})\\ &=\left(\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0R^2}+evB\right)\hat{\pmb{n}}\tag{25.3} \end{align*}$

洛伦兹力提供向心力

$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0R^2}+evB=\frac{m_ev^2}{R}\tag{25.4}$

但在有外磁场的作用时，电子的速度应该具有一个微小的增量，所以

$evB=\frac{m_e}{R}(v'^2-v^2)\approx\frac{2m_ev}{R}\Delta v\tag{25.5}$

即

$\Delta v=\frac{eBR}{2m_e}\tag{25.6}$

这个速度的增量同时会改变磁矩

$\Delta \pmb{m}=-\frac{1}{2}eR\Delta v\hat{\pmb{z}}=-\frac{e^2R^2\pmb{B}}{4m_e} \tag{25.7}$

注意，磁矩的改变量与磁场方向相反。这就是抗磁性的一个定性解释。由于抗磁性比顺磁性弱得多，所以抗磁性一般只能在不存在顺磁性的具有偶数个电子的原子中观察到。

§26 铁磁体

§27 磁化强度

当存在外磁场时，磁介质被磁化，介质中的许多微小磁偶极子出现一定的有序排列。我们用矢量磁化强度来描述这种磁化

$\pmb{M}=\frac{\mathrm{d}\pmb{m}}{\mathrm{d}V} \tag{27.1}$

即单位体积中的总磁偶极矩。

当给定磁介质的磁化强度时，它在$\pmb{r}$处产生的磁矢势为

$\begin{align*} \pmb{A}(\pmb{r})&=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\frac{\pmb{M}(\pmb{r}')\times(\pmb{r}-\pmb{r}')}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|^2} \mathrm{d}V'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\pmb{M}(\pmb{r}')\times\left(\nabla'\frac{1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\right) \mathrm{d}V'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\left(\frac{\nabla'\times \pmb{M}}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}-\nabla\times\frac{\pmb{M}}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\right)\mathrm{d}V'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\frac{\nabla'\times \pmb{M}}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\mathrm{d}V'+\frac{\mu_0}{4\pi}\iint\frac{\pmb{M}\times \hat{\pmb{n}}}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\mathrm{d}S'\tag{27.2} \end{align*}$

其中，第一项类似于体电流密度的效应，第二项类似于面电流密度的效应，即

$\pmb{J}_b=\nabla\times \pmb{M}\tag{27.3}$ $\pmb{K}_b=\pmb{M}\times \hat{\pmb{n}}\tag{27.4}$

分别称为束缚电流体密度和束缚电流面密度。

§28 磁介质中的静磁场

当介质被磁化后，介质中出现磁化强度$\pmb{M}$，这时介质中的总电流为

$\pmb{J}=\pmb{J}_f+\pmb{J}_b\tag{28.1}$

因此安培定理为

$\begin{align*} \nabla\times \pmb{B}&=\mu_0\pmb{J}\\ &=\mu_0(\pmb{J}_f+\pmb{J}_b)\\ &=\mu_0\pmb{J}_f+\mu_0\nabla\times \pmb{M}\tag{28.2} \end{align*}$

上式可改写为

$\nabla\times\left(\frac{\pmb{B}}{\mu_0}-\pmb{M}\right)=\pmb{J}_f\tag{28.3}$

我们定义一个辅助物理量$\pmb{H}=\frac{\pmb{B}}{\mu_0}-\pmb{M}$，因此有

$\nabla\times\pmb{H}=\pmb{J}_f\tag{28.4}$

$\pmb{H}$的地位与静电学中的$\pmb{D}$类似，它们允许我们先由自由电荷（电流）求出一个辅助量，再根据介质的性质来求其他的物理量。

通过式（22.1）和（22.2），$\pmb{H}$的边界条件为

$(\pmb{H}_2-\pmb{H}_1)\cdot\hat{\pmb{n}}=-(\pmb{M}_2-\pmb{M}_1)\cdot\hat{\pmb{n}}\tag{28.5}$ $\pmb{H}_2^{||}-\pmb{H}_1^{||}=\pmb{K}_f\times\hat{\pmb{n}}\tag{28.6}$

§29 线性介质

在多数各向同性磁介质中，磁化强度是和$\pmb{H}$成线性关系的，即

$\pmb{M}=\chi_m\pmb{H}\tag{29.1}$

其中的$\chi_m$称为磁化率。这样的介质即为线性介质。这时，磁介质中的磁场也和$\pmb{H}$成线性关系

$\pmb{B}=\mu_0(\pmb{M}+\pmb{H})=\mu_0(1+\chi_m)\pmb{H}=\mu \pmb{H}\tag{29.2}$

其中$\mu$称为介质的磁导率。其次，在各向同性线性介质中的体束缚电流密度也与自由电流密度成正比：

$\pmb{J}_b=\nabla\times\pmb{M}=\nabla\times(\chi_m\pmb{H})=\chi_m \pmb{J}_f\tag{29.3}$

因此，如果介质中没有电流通过，则束缚电流只能分布在介质的表面上。

如果介质是各向异性的，则磁化率是一个三阶张量

$M_i=\chi_{mi}^{\ \ \ j} H_j\tag{29.4}$

静电学、静磁学的总结与对比

	静电学	静磁学
基本公式	库伦定律 $\pmb{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^3}\pmb{r}$	$\pmb{F}=\int(\pmb{I}\times \pmb{B})\mathrm{d}l$
场	$\pmb{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\frac{\rho \pmb{r}}{r^3}\mathrm{d}V$	毕奥-萨伐尔定律 $\pmb{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\pmb{I}\times \pmb{r}}{r^2}\mathrm{d}l$
散度&旋度	$\nabla\cdot \pmb{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ $\nabla\times \pmb{E}=0$	$\nabla\cdot\pmb{B}=0$ $\nabla\times \pmb{B}=\mu_0\pmb{J}$
势	$\pmb{E}=-\nabla \phi$	$\pmb{B}=\nabla\times \pmb{A}$
能量密度	$w_E=\frac{1}{2}\pmb{E}\cdot\pmb{P}$	$\frac{1}{2}\pmb{B}\cdot\pmb{H}$
边值关系	$E_2^\perp-E_1^\perp=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ $E_2^{\vert\vert}-E_1^{\vert\vert}=0$	$B_2^\perp-B_1^\perp=0$ $B_2^{\vert\vert}-B_1^{\vert\vert}=K$
偶极子	$\pmb{E}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{\pmb{p}}{r^3}- \frac{3(\pmb{p}\cdot\pmb{r})\pmb{r}}{r^5}\right]$ $\pmb{p}=q\pmb{l}$ $\pmb{F}=\nabla(\pmb{p}\cdot\pmb{E})$ $\pmb{L}=\pmb{p}\times \pmb{E}$	$\pmb{B}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{\pmb{m}}{r^3}-\frac{3(\pmb{m}\cdot \pmb{r})\pmb{r}}{r^5}\right]$ $\pmb{m}=I\pmb{S}$ $\pmb{F}=\nabla(\pmb{m}\cdot\pmb{B})$ $\pmb{L}=\pmb{m}\times \pmb{B}$
介质极化	$\pmb{P}$	$\pmb{M}$
束缚电荷（电流）	$\rho_b=-\nabla\cdot\pmb{P}$ $\sigma_b=\hat{\pmb{n}}\cdot\pmb{P}$	$\pmb{J}_b=\nabla\times \pmb{M}$ $\pmb{K}_b=-\hat{\pmb{n}}\times \pmb{M}$
辅助矢量	电极化矢量 $\pmb{D}=\epsilon_0\pmb{E}+\pmb{P}$	$\pmb{H}=\frac{\pmb{B}}{\mu_0}-\pmb{M}$
	$\nabla\cdot\pmb{D}=\rho_f$ $\nabla\times \pmb{D}=\nabla\times \pmb{P}$	$\nabla\cdot\pmb{H}=-\nabla\cdot\pmb{M}$ $\nabla\times \pmb{H}=\pmb{J}_f$
线性介质	$\pmb{P}=\chi_e\epsilon_0\pmb{E}$ $\pmb{D}=\epsilon\pmb{E}$ $\epsilon=(1+\chi_e)\epsilon_0$	$\pmb{M}=\chi_m\pmb{H}$ $\pmb{H}=\mu \pmb{B}$ $\mu=(1+\chi_m)\mu_0$
边界条件	$D_2^\perp-D_1^\perp=\sigma_f$ $D_2^{\vert\vert}-D_1^{\vert\vert}=\hat{\pmb{n}}\cdot(\pmb{P}_2-\pmb{P}_1)$	$H_2^\perp-H_1^\perp=-\hat{\pmb{n}}\cdot(\pmb{M}_2-\pmb{M}_1)$ $\pmb{H}_2^{\vert\vert}-\pmb{H}_1^{\vert\vert}=\pmb{K}_f\times\hat{\pmb{n}}$

第六章稳恒电流

§30 稳恒电路

电流已经是我们很熟悉的东西了，它由电荷的运动产生，并有连续性方程

$\nabla\cdot \pmb{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 \tag{30.1}$

由于这是电荷守恒定律的直接推论，所以式（30.1）是普遍成立的，与具体的导体性质无关。现在我们来讨论电流产生的具体过程。

稳恒电路顾名思义，即电路中的各电学量不随时间变化，因此，稳恒电路中的各点的电流密度就应该是与时间无关的常数。所以$\frac{\partial \rho}{\partial t}$也是与时间无关的量。实际上，这个值正是$0$。否则，不为$0$的电荷密度变化率，必然会带来部分区域中电荷的线性累积，而这种无限制的增长显然是不可能的，否则会出现无穷大的电荷量。于是，电路的稳恒条件就是

$\frac{\partial \rho}{\partial t}=\nabla\cdot\pmb{J}=0\tag{30.2}$

稳恒条件表明，电路中各处的电荷分布不会出现改变，因此稳恒电路只涉及到静电学问题。

§31 欧姆定律及焦耳定律

再得到稳恒条件后，我们来研究稳恒电路中电流和电场的关系。

实验表明，导体中的载流子的定向运动会收到阻碍作用，这个阻碍作用常常用电阻来衡量。为了维持载流子的定向运动，导体中需要存在电场来驱动。对于稳恒电流来说，这个电场就是静电场。实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流$I$与该段导体两端的电势差$U$成正比，为

$I=\frac{U}{R}\tag{31.1}$

这就是著名的欧姆定律。比例系数正是导体的电阻，由导体的性质决定，而与电流大小无关。电阻的倒数称为电导，记为

$G=\frac{1}{R}\tag{31.2}$

电导的单位称为西门子，符号为$S$。

导体的电阻与导体的材料、大小和形状有关，还与电流在导体横截面上的分布有关。实验表明，对于横截面均匀的各向同性导体，且电流沿截面均匀分布，它的电阻$R$与长度

§32 基尔霍夫方程组

第七章电磁感应

§33 法拉第定律

法拉第电磁感应定律表述为：当空间中的磁场随时间变化时，一闭合回路中的电动势为该回路所包围的面内的磁通量的变化率，即

$\mathscr{E}=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t} \tag{33.1}$

这个电动势称为感生电动势。

由

$\begin{align*} \mathscr{E}&=\oint_{\partial S}\pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{l} \\ &=\iint_S\nabla\times \pmb{E}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\tag{33.2} \end{align*}$

以及

$\begin{align*} -\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}&=-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\iint_S\pmb{B}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\\ &=-\iint_S\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\tag{33.3} \end{align*}$

所以有

$\nabla\times \pmb{E}+\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}=0\tag{33.4}$

这就是法拉第定律的微分形式。可见，若空间中的磁场不含时，则式（33.4）就退化为

$\nabla\times \pmb{E}=0\tag{33.5}$

借助楞次定律可以方便地得到回路中的电流方向。它表述为：感生电动势产生的电流反抗磁通的改变。即电流产生的磁通应与磁通的改变量相反。

要注意的是，由于现在我们关注的是含时磁场，则我们在前两章中所发展的静磁学的理论理论上已经失效了。但通常我们继续使用静磁学，只要不考虑电磁波和电磁辐射，结果都是近似正确的。这种情况称为准静态，只要磁场变化得不太快，且考虑的场点离源点不太远。

§34 电感

假设现在有两个静止的导线回路$S_1$和$S_2$，$S_1$中通有电流$I_1$。当$I_1$变化时，$S_2$中会有感生电动势并产生电流。可以想象，这时会有较复杂的耦合现象。利用磁矢势，将$S_1$在$S_2$回路中产生的磁通计算出来

$\begin{align*} \Phi_2&=\iint_{S_2}\pmb{B}_1\cdot\mathrm{d}\pmb{S}_2\\ &=\iint_{S_2}(\nabla\times \pmb{A}_1)\cdot\mathrm{d}\pmb{S}_2\\ &=\oint_{\partial S_2}\pmb{A}_1\cdot\mathrm{d}\pmb{l}_2\tag{34.1} \end{align*}$

其中，根据式（23.4）

$\begin{align*} \pmb{A}_1&=\frac{\mu_0}{4\pi}I_1\oint_{\partial S_1}\frac{\mathrm{d}\pmb{l}_1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|} \tag{34.2} \end{align*}$

所以

$\begin{align*} \Phi_2&=\frac{\mu_0I_1}{4\pi}\oint_{\partial S_2}\left(\oint_{\partial S_1}\frac{\mathrm{d}\pmb{l}_1}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\right)\cdot\mathrm{d}\pmb{l}_2\\ &=\frac{\mu_0I_1}{4\pi}\oint\oint\frac{\mathrm{d}\pmb{l}_1\cdot\mathrm{d}\pmb{l}_2}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\tag{34.3} \end{align*}$

可见，这个磁通仅仅与电流成正比，其比例系数是一个仅与回路几何因素有关的二重线积分，它称为这两个回路的互感系数。式（34.3）称为纽曼公式。

$M=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\oint\frac{\mathrm{d}\pmb{l}_1\cdot\mathrm{d}\pmb{l}_2}{|\pmb{r}-\pmb{r}'|}\tag{34.4}$

现在，法拉第定律可改写为

$\mathscr{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=-M\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \tag{34.5}$

当回路中的电流改变时，它不仅会在附近的回路中感应出电流，还会在这个回路本身中感应出电流，这时的磁通同样是与电流成正比的

$\Phi=LI \tag{34.6}$

其中的$L$称为回路的自感系数。自感电动势为

$\mathscr{E}=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\tag{34.7}$

由于这个电动势的效果时反抗电流的变化，因此也称为反电动势。

§35 线圈的串、并联

设有线圈1和2，通的电流分别为$I_1$和$I_2$。则线圈的磁通既包括自感磁通也包括互感磁通。

$\Phi_1=L_1I_1+MI_2\tag{35.1}$ $\Phi_2=L_2I_2+MI_1\tag{35.2}$

则感生电动势为

$\mathscr{E}_1=-\left(L_1\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}+M\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t}\right)\tag{35.3}$ $\mathscr{E}_2=-\left(L_2\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t}+M\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}\right)\tag{35.3}$

我们取感生电动势的方向与磁通的方向满足右手定则。这时，自感系数$L_1$和$L_2$将为正值。而互感系数$M$取决于电流的方向。

根据互感系数的正负，我们定义线圈的同名端和异名端：当电流从线圈的同名端流入时，互感系数为正值；从异名端流入时，互感系数为负值。

线圈串联
线圈串联分为顺接和反接两种。异名端相接是顺接，同名端相接是反接。设流入的电流为$I$，则总电动势为 $\mathscr{E}=-(L_1+L_2+2M)\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\tag{35.4}$

则串联线圈的总自感为

$L=L_1+L_2+2M\tag{35.5}$

线圈并联
设流入的总电流为$I$，不考虑线圈的电阻。当电流发生变化时，两线圈的感生电动势相等，则 $L_1\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}+M\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t}=L_2\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t}+M\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}\tag{35.6}$

同时

$\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t} \tag{35.7}$

解得

$\frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}=\frac{L_2-M}{L_1+L_2-2M}\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\tag{35.8}$ $\frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t}=\frac{L_1-M}{L_1+L_2-2M}\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\tag{35.9}$

于是

$\mathscr{E}=-\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\tag{35.10}$

自感系数为

$L=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\tag{35.11}$

由于自感系数不能是负的，则

$|M|\leq\sqrt{L_1L_2}\tag{35.12}$

或

$M=k\sqrt{L_1L_2},-1\leq k\leq 1\tag{35.13}$

其中$k$称为耦合系数。$k=0$代表无耦合，$k=\pm 1$代表理想耦合。

对于无耦合的情况，式（35.5）和（35.11）变为

$L=L_1+L_2\tag{35.14}$ $L=\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}\to \frac{1}{L}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}\tag{35.15}$

说明不考虑互感时，自感系数的串、并联公式与电阻的串、并联公式相同。

对于理想耦合，式（35.11）变为

$L=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}=0\tag{35.16}$

说明两个自感系数不同的理想耦合线圈并联后的自感系数总为0。但当$L_1=L_2$时

$L=\frac{L_0^2-M^2}{2(L_0-M)}=\frac{1}{2}(L_0+M)\tag{35.17}$

§36 似稳电路和暂态过程

这一节我们研究一种非稳恒电路。它除了包含电源和电阻，还包含电容、电感和互感元件，且流经电路的电路随时间缓慢变化。这种电路的基本方程和处理方法与稳恒电路类似，因此称为似稳电路。

当电路中的电动势发生变化时，电路中的电流、电场分布会发生变化。这一变化是以光速传播的。因此，只要电路的尺寸远小于光速与电动势变化周期的乘积，即

$l\ll cT \quad or \quad l\ll \frac{c}{f}\tag{36.1}$

则可近似认为电路对电动势改变的响应不需要时间。这种情况下，稳恒电路的各个方程仍然适用。

根据电荷守恒定律，并且我们忽略除了电容极板外的电荷累计，则有

$\iint_S\pmb{J}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=0\tag{36.2}$

于是沿任一回路电流处处相等，尽管这时电流通常是时间的函数。

在含有电感、电容元件的单一回路中，如果我们提供一个阶跃电压信号，那么电流也会在两个稳态间变化。这个过程称为暂态过程。

RL电路
电路中只含有电阻、电感元件，则有方程 $\mathscr{E}=IR+L\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\tag{36.3}$

这个微分方程的解为

$I=\frac{\mathscr{E}}{R}+I_0\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t} \tag{36.4}$

我们设$t=0$时电流为$0$，那么有

$I=\frac{\mathscr{E}}{R}(1-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t})\tag{36.5}$

这个式子表明，接通电源后，电流会逐渐增加至$\mathscr{E}/R$，增加快慢取决于比值

$\tau_L=\frac{L}{R} \tag{36.6}$

它称为电路的时间常数。$\tau_L$越小，电流增长得越快。类似的，如果设$t=0$时电流为$\mathscr{E}/R$，则电流会逐渐减小到0。

$I=\frac{\mathscr{E}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\tag{36.7}$

RC电路
类似地，有方程 $IR+\frac{q}{C}=\mathscr{E}\tag{36.8}$

化简为

$\dot{q}+\frac{1}{RC}q=\frac{\mathscr{E}}{R} \tag{36.9}$

设初始条件为$q\big|_{t=0}=0$，可得

$q=C\mathscr{E}(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}) \tag{36.10}$

对应的充电电流为

$I=\frac{\mathscr{E}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\tag{36.11}$

同样的，充电的快慢取决于时间常数

$\tau_C=RC\tag{36.12}$

RCL电路
这时的方程为 $IR+\frac{q}{C}+L\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=\mathscr{E}\tag{36.13}$

化简为

$\ddot{q}+\frac{R}{L}\dot{q}+\frac{1}{LC}q=\frac{\mathscr{E}}{L}\tag{36.14}$

这是一个阻尼振荡方程。设边界条件为$q\big|_{t=0}=0,I\big|_{t=0}=0$。它的解有三种，取决于$R、C、L$三者的相对大小。

弱阻尼状态（$R^2C-4L<0$） $q=q_0\left[1-\mathrm{e}^{-\beta t}\left(\cos \omega t+\frac{\beta}{\omega}\sin\omega t\right)\right] \tag{36.15}$

其中

$q_0=C\mathscr{E},\beta=\frac{R}{2L},\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{R^2C}{4L}}$

这是一个阻尼振荡解。

临界阻尼状态（$R^2C-4L=0$） $q=q_0\left[1-\left(1+\beta t\right)\mathrm{e}^{-\beta t}\right] \tag{36.16}$

这时$q$随时间单调递增。

过阻尼状态（$R^2C-4L>0$） $q=q_0\left\{1-\frac{\mathrm{e}^{-\beta t}}{2\gamma}[(\beta+\gamma)\mathrm{e}^{\gamma t}-(\beta-\gamma)\mathrm{e}^{-\gamma t}]\right\} \tag{36.17}$

其中

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{\frac{R^2C}{4L}-1}$

这时的$q$也是单调递增的，但是比临界阻尼状态增大得要慢。

第八章磁能

§37 载流线圈的磁能

先研究一个最简单的情况：单线圈回路。回路方程为

$\mathscr{E}-IR-L\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=0\tag{37.1}$

化为

$\mathscr{E}I\mathrm{d}t=I^2R\mathrm{d}t+\frac{1}{2}L\mathrm{d}I^2\tag{37.2}$

上式左边是电路电源输入的元功，而左边第一项是电路中电阻产生的焦耳热，第二项是用于反抗线圈的反电动势所做的功，即线圈的磁能$W_m$。

$W_m=\int_0^{I_0}\frac{1}{2}L\mathrm{d}I^2=\frac{1}{2}LI_0^2\tag{37.3}$

上式表明磁能只取决于线圈的几何特征（$L$）以及初末时刻的电流状态，而与电流中间的变化过程无关。式（34.3）还可以写为

$W_m=\frac{1}{2}I_0\Phi_0 \tag{37.4}$

现在，我们来考虑$N$个线圈情况。现在，不仅要考虑线圈的自感，还要考虑线圈间的互感。在某一瞬间，第$i$个线圈反抗反电动势所做的元功为

$\mathrm{d}A_{i}=L_iI_i\mathrm{d}I_i+\sum_{k=1(j\neq i)}^NM_{ji}I_i\mathrm{d}I_j\tag{37.5}$

$N$个线圈做的总功为

$\mathrm{d}A=\sum_{i=1}^NL_iI_i\mathrm{d}I_i+\sum_{i=1}^N\sum_{k=1(j\neq i)}^NM_{ji}I_i\mathrm{d}I_j\tag{37.6}$

由于$M_{ij}=M_{ji}$，且交换$i,j$指标第二项不变，则第二项可化为

$\begin{align*} \sum_{i=1}^N\sum_{k=1(j\neq i)}^NM_{ji}I_i\mathrm{d}I_j&=\frac{1}{2}\left(\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}M_{ji}I_i\mathrm{d}I_j+\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}M_{ij}I_j\mathrm{d}I_i\right)\\ &=\frac{1}{2}\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}M_{ij}\mathrm{d}(I_iI_j)\tag{37.7} \end{align*}$

于是

$\mathrm{d}A=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^NL_i\mathrm{d}I_i^2+\frac{1}{2}\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}M_{ij}\mathrm{d}(I_iI_j)\tag{37.8}$

积分可得

$A=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^NL_iI_i^2+\frac{1}{2}\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}M_{ij}I_iI_j\tag{37.8}$

于是体系在该时刻的磁能为

$W_m=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^NL_iI_i^2+\frac{1}{2}\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}M_{ij}I_iI_j\tag{37.9}$

其中，第一项是线圈的自能，第二项是线圈的互能。它同样与磁场的建立过程无关。

式（37.9）同样可以用磁通改写为

$\begin{align*} W_m&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\Phi_{ii}I_i+\frac{1}{2}\underset{i\neq j}{\sum_{i,j=1}^N}\Phi_{ij}I_j\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\Phi_iI_i\tag{37.10} \end{align*}$

其中$\Phi_{ij}$为第$i$个线圈在第$j$个线圈处产生的磁通，$\Phi_i$为第$i$个线圈处的总磁通。

§38 外场中的载流线圈的能量

我们现在关注的是线圈与外场的相互作用能。由式（37.10）我们可以知道，线圈在外磁场中的能量应该正比于该外场在线圈处的磁通和线圈的电流，所以

$W_m=I\iint_S\pmb{B}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\tag{38.1}$

所以由$N$个线圈组成的系统在外场$\pmb{B}$中的能量为

$W_m=\sum_{i=1}^NI_i\iint_{S_i}\pmb{B}(\pmb{r})\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\tag{38.2}$

假如该线圈足够小，使得外场在线圈处的磁场是常矢量，则$\pmb{B}$可从积分号中提出来

$\begin{align*} W_m&=I\pmb{B}\cdot\iint_S\mathrm{d}\pmb{S}\\ &=\pmb{B}\cdot(I\pmb{S})\\ &=\pmb{B}\cdot\pmb{m}\tag{38.3} \end{align*}$

$\pmb{m}$即为线圈的磁矩。

由式（38.3）可以很简单地得到磁偶极子在外场中的受力

$\pmb{F}=-\nabla W_m=-\nabla(\pmb{m}\cdot\pmb{B})\tag{38.4}$

§39 磁场的能量密度

与在§17中做的那样，我们同样可以得到磁场的能量密度。从式（37.4）出发，利用斯托克斯公式

$\begin{align*} W_m&=\frac{1}{2}I\iint_S\pmb{B}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\\ &=\frac{1}{2}I\iint_S(\nabla\times \pmb{A})\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\\ &=\frac{1}{2}I\oint_{\partial S}\pmb{A}\cdot\mathrm{d}\pmb{l}\\ &=\frac{1}{2}\oint_{\partial S}\pmb{A}\cdot\pmb{I}\mathrm{d}l\tag{39.1} \end{align*}$

我们可以将其推广到体电流分布上

$\begin{align*} W_m&=\frac{1}{2}\iiint_\Omega\pmb{A}\cdot\pmb{J}\mathrm{d}V\\ &=\frac{1}{2\mu_0}\iiint_\Omega\pmb{A}\cdot(\nabla\times \pmb{B})\mathrm{d}V\tag{39.2} \end{align*}$

再作分部积分

$\nabla\cdot(\pmb{A}\times\pmb{B})=\pmb{B}\cdot(\nabla\times \pmb{A})-\pmb{A}\cdot(\nabla\times \pmb{B})\tag{39.3}$ $\begin{align*} W_m&=\frac{1}{2\mu_0}\iiint_\Omega\left[\pmb{B}\cdot(\nabla\times \pmb{A})-\nabla\cdot(\pmb{A}\times\pmb{B})\right]\mathrm{d}V\\ &=\frac{1}{2\mu_0}\left[\iiint_\Omega B^2\mathrm{d}V-\iint_{\partial\Omega}(\pmb{A}\times\pmb{B})\cdot \mathrm{d}\pmb{S} \right]\tag{39.4} \end{align*}$

上式中的积分区域$\Omega$可以是包含所有电流的有限空间，但我们也可以将其取为全空间，则其边界会远离所有电流分布。这时边界上的$\pmb{A}$和$\pmb{B}$都会趋于0，所以式（39.4）的第二项等于0，即

$W_m=\iiint_\Omega\frac{B^2}{2\mu_0}\mathrm{d}V\tag{39.5}$

于是我们就可以定义磁场的能量密度为

$w_m=\frac{B^2}{2\mu_0}\tag{39.6}$

对于磁介质，式（39.6）变为

$w_m=\frac{1}{2}\pmb{B}\cdot\pmb{H} \tag{39.7}$

第九章交流电路

§40 基本概念和描述方法

当电路中的电源电动势随时间作周期变化时，电路中各段的电流和电压也随时间作周期变化，这种电路称为交流电路。

交流电路不同于稳恒电路和暂态电路。由于交流电路中的电流、电压时刻在变化，所以电容、电感在交流电路中的表现有所不同。我们研究稍微简单的情况——似稳交流电路。

对于满足似稳条件的单回路交流电路，假设其中有电阻、电容、自感和互感元件，那么电路的基本方程为

$\frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} t}=\frac{i}{C}+R\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}+L\frac{\mathrm{d}^2 i}{\mathrm{d} t^2}+M\frac{\mathrm{d}^2 i' }{\mathrm{d} t^2}\tag{40.1}$

当电路中的各元件的性质于电流无关时，几个参数$R,C,L,M$也是与电流无关的常数，这时的电路称为线性电路。线性电路的重要性质就是它满足叠加原理。我们只研究线性电路。

交流电路的基本描述方法分为三种。

函数描述
根据傅立叶分析原理，所有周期性变化的函数都可以分解为一系列的简谐波。由于线性电路满足叠加原理，于是我们只需要研究简谐波就够了。这时，电路的电压、电流和电动势可以写为 $u(t)=V_m\cos(\omega t+\phi_u)\tag{40.2}$

$i(t)=I_m\cos(\omega t+\phi_i)\tag{40.3}$ $e(t)=\mathscr{E}_m\cos(\omega t+\phi_e)\tag{40.4}$

其中涉及到的三个参数分别称为峰值、频率和相位。关于峰值，要注意的是，我们常用的是有效值（例如$I=I_m/\sqrt{2}$），因为有效值可直接套用直流电的焦耳定律来计算交流电路的功率。

矢量描述
在函数描述中，一个电学量表示为 $a(t)=A\cos(\omega t+\phi) \tag{40.5}$

而在$xOy$平面内，从原点出发作一个矢量$\pmb{A}$满足$|\pmb{A}|=A$，让它以匀角速度$\omega$绕原点旋转，那么它在x轴上的投影为

$A_x=\pmb{A}\cdot\hat{\pmb{x}}=A\cos(\omega t+\phi) \tag{40.6}$

这说明，一个简谐量可以与一个旋转矢量一一对应。矢量描述的好处在于，如果我们想合成两个同性质、同频率的简谐量，矢量描述更为简单。例如，要合成$a_1(t)=A_1\cos(\omega t+\phi_1)$和$a_2(t)=A_2\cos(\omega t+\phi_2)$，函数描述为

$\begin{align*} a(t)&=A_1\cos(\omega t+\phi_1)+A_2\cos(\omega t+\phi_2)\\ &=(A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2)\cos\omega t-(A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2)\sin\omega t\\ &=A\cos(\omega t+\phi)\\ &=A\cos\phi\cos\omega t-A\sin\phi\sin\omega t\tag{40.7} \end{align*}$

如果对于任意时刻都有上式成立，那么就有

$A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2=A\cos\phi\tag{40.8}$ $A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2=A\sin\phi\tag{40.9}$

所以

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\phi_1-\phi_2)}\tag{40.10}$

而对于矢量描述

$\begin{align*} a(t)&=\pmb{A}\cdot\hat{\pmb{x}}\\ &=(\pmb{A}_1+\pmb{A}_2)\cdot\hat{\pmb{x}} \tag{40.11} \end{align*}$

复数描述
基于矢量描述，我们再根据复数与矢量的一一对应关系，我们也可以用复数来表示简谐量 $a(t)=A\cos(\omega t+\phi)\to \widetilde{a}=Ae^{j(\omega t+\phi)}\tag{40.12}$

而根据欧拉公式，我们有

$a=\mathrm{Re}(\widetilde{a})\tag{40.13}$

§41 交流电路的复数解法

交流电路的基本方程为

$e=iR+\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t+L\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}+M\frac{\mathrm{d} i'}{\mathrm{d} t}\tag{41.1}$

如果使用复数表示

$\mathrm{Re}(\widetilde{\mathscr{E}})=R[\mathrm{Re}(\widetilde{I})]+\frac{1}{C}\int\mathrm{Re}(\widetilde{I})\mathrm{d}t+L \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[\mathrm{Re}(\widetilde{I})]+M\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[\mathrm{Re}(\widetilde{I'})] \tag{41.2}$

根据上述算符的线性性，我们可以得到

$\widetilde{\mathscr{E}}=R\widetilde{I}+\frac{1}{C}\int\widetilde{I}\mathrm{d}t+L\frac{\mathrm{d} \widetilde{I}}{\mathrm{d} t}+M\frac{\mathrm{d} \widetilde{I}'}{\mathrm{d} t}\tag{41.3}$

由于

$\widetilde{I}=\widetilde{I}'=I_me^{j\omega t}\tag{41.4}$

（假设初相位为0），于是

$\begin{align*} \int\widetilde{I}\mathrm{d}t&=I_m\int e^{j\omega t}\mathrm{d}t\\ &=\frac{I_me^{j\omega t}}{j\omega }\\ &=\frac{1}{j\omega}\widetilde{I}\tag{41.5}\\ \frac{\mathrm{d} \widetilde{I}}{\mathrm{d} t}&=j\omega \widetilde{I}\tag{41.5} \end{align*}$

所以式（41.3）变为

$\widetilde{\mathscr{E}}=(R+\frac{1}{j\omega C}+j\omega L)\widetilde{I}+j\omega M\widetilde{I}'\tag{41.6}$

或将其改为复有效值形式

$\dot{\mathscr{E}}=R\dot{I}+\frac{1}{j\omega C}\dot{I}+j\omega L\dot{I}+j\omega M\dot{I}'\tag{41.7}$

接下来的讨论都采取有效值形式。

由式（41.7）我们可以看出，其中各元件上的复电压都与通过该元件的电流有关，于是我们可以得到“复欧姆定律”

$\dot{V}=\dot{I}\dot{Z}\tag{41.8}$

其中的$Z$称为对应元件的复阻抗，简称阻抗，各元件的复阻抗表达式如下

$\begin{align*} \dot{Z}_R&=R\tag{41.9}\\ \dot{Z}_C&=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{\omega C}e^{-j\frac{\pi}{2}} \tag{41.10}\\ \dot{Z}_L&=j\omega L=\omega Le^{j\frac{\pi}{2}}\tag{41.11}\\ \dot{Z}_M&=\omega Me^{j\frac{\pi}{2}}\tag{41.12} \end{align*}$

可以看出，电阻的阻抗与频率无关，电容的阻抗与频率成反比，电感的阻抗与频率成正比。这意味着，电容阻低频通高频，电感阻高频通低频。

在引入“复欧姆定律”后，基尔霍夫方程组同样也成立，只是要将对应的电学量换成其复数表示

$\left\{\begin{aligned} \sum_{in}\dot{I}=\sum_{out}\dot{I}\\ \dot{\mathscr{E}}-\dot{Z}\dot{I}=0 \end{aligned}\right. \tag{41.13}$

§42 交流电的功率

假设交流电路的电压和电流分别为

$u=U_m\cos(\omega t+\varphi_u) \tag{42.1}$ $i=I_m\cos(\omega t+\varphi_i)\tag{42.2}$

则时刻$t$时的瞬时功率为

$\begin{align*} p&=ui\\ &=U_mI_m\cos(\omega t+\varphi_u)\cos(\omega t+\varphi_i)\\ &=\frac{1}{2}U_mI_m[\cos(2\omega t+\varphi_i+\varphi_u)+\cos(\varphi_i-\varphi_u)]\tag{42.3} \end{align*}$

在一个周期内，交流电路对外做的总功为

$\begin{align*} W&=\int_0^Tp\mathrm{d}t \tag{42.4} \end{align*}$

不妨设电压的初相位为0，电流的初相位为$\varphi_i=\varphi$。则上式的结果为

$\begin{align*} W&=\frac{1}{2}U_mI_m\int_0^T [\cos\varphi+\cos(2\omega t+\varphi)]\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{2}U_mI_m\left[t\cos\varphi+\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t+\varphi)\right]\bigg|_0^T\\ &=\frac{T}{2}U_mI_m\cos\varphi\tag{42.5} \end{align*}$

我们定义交流电路在一个周期内的平均功率

$P=\frac{W}{T}=\frac{1}{2}U_mI_m\cos\varphi\tag{42.6}$

若使用有效值，则平均功率为

$P=UI\cos\varphi\tag{42.7}$

通过复有效值计算平均功率：

$\begin{align*} \dot{V}\dot{I}^*&=UIe^{j\varphi}\\ \dot{V}^*\dot{I}&=UIe^{-j\varphi}\\ P&=\mathrm{Re}(\dot{V}\dot{I}^*)=\mathrm{Re}(\dot{V}^*\dot{I})\\ &=\frac{1}{2}(\dot{V}\dot{I}^*+\dot{V}^*\dot{I})\tag{42.8} \end{align*}$

其中的星号表示复共轭。

额定电压和额定电流（均指有效值）的乘积称为视在功率

$S=UI\tag{42.9}$

则视在功率和平均功率的关系为

$\frac{P}{S}=\cos\varphi\tag{42.10}$

这个比值又称为功率因子（功率因素、功率因数）。

§43 三种典型交流电路

本节研究三种经典的交流电路：串联谐振电路、并联谐振电路和变压器电路。

串联谐振电路指电阻$R$，电容$C$和电感$L$串联的交流电路。电路的复阻抗为 $\begin{align*} \widetilde{Z}&=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C} \\ &=R+j\omega L\left(1-\frac{\omega_0^2}{\omega^2}\right)\tag{43.1} \end{align*}$

其中

$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{43.2}$

为电路的谐振角频率。谐振频率为

$f_0=2\pi \omega_0=\frac{2\pi}{\sqrt{LC}}\tag{43.3}$

设电压的初相位为0，则有

$\dot{U}=Ue^{j\omega t} \tag{43.4}$ $\begin{align*} \dot{I}&=\dot{U}/\widetilde{Z}\\ &=\frac{U}{Z}e^{j\omega t-\varphi_Z}\tag{43.5} \end{align*}$

其中

$Z=[R^2+\omega^2L^2(1-\omega_0^2/\omega^2)^2]^\frac{1}{2} \tag{43.6}$ $\varphi_Z=\arctan\left[\frac{\omega L}{R}\left(1-\frac{\omega_0^2}{\omega^2}\right)\right] \tag{43.7}$

当电源频率等于谐振频率$f_0$时，$\varphi_Z=0$。所以阻抗取得最小值，电流取得最大值

$I_{max}=\frac{U}{R},Z_{min}=R$

$LC$谐振电路的品质因数$Q$定义为

$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \tag{43.8}$

它可以反映谐振电路的固有性质。首先，它反映了谐振时电路的阻抗比和电压比

$\frac{Z_C}{Z_R}=\frac{1}{\omega RC}=Q=\frac{Z_L}{Z_R}=\frac{U_C}{U_R}=\frac{U_L}{U_R} \tag{43.9}$

其次

$Q=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{2\pi L}{T_0R}=4\pi\frac{\frac{1}{2}LI^2}{I^2RT_0} \tag{43.10}$

同时有

$\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}LU_C^2\omega_0^2C^2=\frac{1}{2}CU_C^2\tag{43.11}$

所以

$Q=4\pi\frac{(\frac{1}{2}LI^2+\frac{1}{2}CU_C^2)/2}{I^2RT_0} \tag{43.12}$

即品质因数等于一个周期内通过电容和电感储存的能量的平均值的和电能损耗的比值的$4\pi$倍。因此，一个串联电路的品质因数越大，其储能效率就越大。

并联谐振电路由带电阻的电感和电容并联而成。复阻抗为 $\begin{align*} \widetilde{Z}&=\left(j\omega C+\frac{1}{R+j\omega L}\right)^{-1}\\ &=\frac{R+j\omega L}{1-\omega^2LC+j\omega CR}\\ &=\frac{R(1+jQ\frac{\omega}{\omega_0})}{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+\frac{\omega}{\omega_0 Q}}\tag{43.13} \end{align*}$

出现的各量的定义与前相同。

类似的，电路的谐振角频率为

$\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{Q^2}} \tag{43.14}$

但此时的阻抗并不是极大值，而是接近于极大值。可以证明，极值点为

$\omega'=\omega_0\left[\sqrt{1+\frac{2}{Q^2}}-\frac{1}{Q^2}\right]^\frac{1}{2}\tag{43.14}$

变压器电路

变压器由绕在同一铁芯上的两个线圈构成，与电源相连的线圈称为初级线圈，与负载相连的线圈称为次级线圈。设两个线圈的匝数为$N_1$和$N_2$，自感分别为$L_1$和$L_2$，互感为$M$。规定电流从两个线圈的异名端流入。因此两个回路的电路方程为

$\dot{V}_1-\dot{I_1}\dot{Z}_1+\dot{I}_2\dot{Z}_M=0 \tag{43.15}$ $\dot{I}_1\dot{Z}_M-\dot{I}_2\dot{Z}_2=0\tag{43.16}$

其中

$\dot{Z}_1=\dot{Z}_{R1}+\dot{Z}_{L1}=R_1+j\omega L_1\tag{43.17}$ $\dot{Z}_2=\dot{Z}_{R2}+\dot{Z}_{L2}=R_2+j\omega L_2+\dot{Z}\tag{43.18}$

$\dot{Z}$为次级线圈所连的负载。解得

$\dot{I}_1=\frac{\dot{V}_1\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1\dot{Z}_2-\dot{Z}_M^2}\tag{43.19}$ $\dot{I}_2=\frac{\dot{V}_1\dot{Z}_M}{\dot{Z}_1\dot{Z}_2-\dot{Z}_M^2}\tag{43.20}$

接下来，我们讨论理想变压器的情况。所以有假定

无漏磁，所以$M^2=L_1L_2,L_1/L_2=N_1^2/N_2^2$；
线圈无损耗，即$R_1=R_2=0$；
铁芯无磁滞损耗和涡流损耗；
线圈感抗远大于负载阻抗，即$Z_1,Z_2,Z_M\gg Z$

在上述假定下，变流比和变压比为

$\frac{\dot{I}_2}{\dot{I}_1}=\frac{\dot{Z}_M}{\dot{Z}_2}=\frac{j\omega M}{j\omega L_2+\dot{Z}}\approx \frac{M}{L_2}=\frac{N_1}{N_2} \tag{43.21}$ $\begin{align*} \frac{\dot{V}_2}{\dot{V}_1}&=\frac{\dot{I}_2\dot{Z}}{\dot{V}_1}\\ &=\frac{j\omega M\cdot \dot{Z}}{j\omega L_1\cdot(j\omega L_2+\dot{Z})+\omega^2M^2}\\ &=\frac{j\omega M\dot{Z}}{\omega^2 (M^2-L_1L_2)+j\omega L_1\dot{Z}}\\ &=\frac{M}{L_1}=\frac{N_2}{N_1}\tag{43.22} \end{align*}$

从输入端看，变压器的等效阻抗为

$\begin{align*} \dot{Z}'&=\frac{\dot{V}_1}{\dot{I}_1}\\ &=\frac{N_1}{N_2}\dot{V}_2\frac{N_1}{N_2}\frac{1}{\dot{I}_2}\\ &=\frac{N_1^2}{N_2^2}\dot{Z}\tag{43.23} \end{align*}$

$\dot{Z}’$又称为反射阻抗。因此，变压器同时起着变换电流、电压和阻抗的作用。但就功率而言

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{V_2I_2}{V_1I_2}=1\tag{43.24}$

第十章麦克斯韦电磁理论

§44 麦克斯韦方程组

Maxwell方程组可谓是经典电动力学的最美妙之处之所在：只需四个基本方程，就可以完整描述所有电磁现象。我们所总结的静电学、静磁学的性质如下

$\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot\pmb{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ &\nabla\times \pmb{E}=0\\ &\nabla\cdot \pmb{B}=0\\ &\nabla\times \pmb{B}=\mu_0\pmb{J} \end{aligned}\right.$

配合连续性方程和洛伦兹力

$\nabla\cdot\pmb{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 \tag{44.1}$ $\pmb{F}=q(\pmb{E}+\pmb{v}\times \pmb{B}) \tag{44.2}$

这四条对与时间无关的电磁场成立。那么对含时的电磁场是否有类似的方程组呢？

基于这个想法，Maxwell做了两个推广和两个假设，最后得到了Maxwell方程组。

Maxwell先将电磁场的两个散度方程推广至含时场的情况。这两个方程确定了场的“源”。如果真的发现有磁单极子的存在，那么磁场的散度方程就必须做出更改。

其次，Maxwell做出的两个假设修改了两个旋度方程。第一个是第七章所提到的涡旋电场假设，得到了

$\nabla\times \pmb{E}+\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}=0\tag{44.3}$

第二个是位移电流假设。如果空间中存在变化的电场，那么空间中的电荷分布也在变化，所以电流密度的散度必不为0，那么

$\nabla\cdot\nabla\times \pmb{B}=\mu_0\nabla\cdot\pmb{J}=-\mu_0\frac{\partial \rho}{\partial t}\neq 0\tag{44.4}$

但是所有旋度的散度都必定为0，于是磁场的散度方程不再成立。Maxwell向方程中加入一项使之成立，这一项称为位移电流

$\nabla\times \pmb{B}=\mu_0(\pmb{J}+\pmb{J}_D) \tag{44.5}$

那么有

$\begin{align*} \nabla\cdot\pmb{J}_D&=\frac{\partial \rho}{\partial t}\\ &=\frac{\partial }{\partial t}(\epsilon_0\nabla\cdot \pmb{E})\\ &=\nabla\cdot\left(\epsilon_0\frac{\partial \pmb{E}}{\partial t}\right)\tag{44.6} \end{align*}$

于是位移电流的一种形式为

$\pmb{J}_D=\epsilon\frac{\partial \pmb{E}}{\partial t}\tag{44.7}$

当然向这个位移电流上加任意函数的旋度后仍然满足我们的要求。散度方程化为

$\nabla\times \pmb{B}-\epsilon_0\frac{\partial \pmb{E}}{\partial t}=\mu_0\pmb{J}\tag{44.8}$

最后，真空中的Maxwell方程组为

$\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot\pmb{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ &\nabla\times \pmb{E}+\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}=0\\ &\nabla\cdot \pmb{B}=0\\ &\nabla\times \pmb{B}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \pmb{E}}{\partial t}=\mu_0\pmb{J} \end{aligned}\right. \tag{44.9}$

当然，对应的有介质中的Maxwell方程组为

$\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot\pmb{D}=\rho\\ &\nabla\times \pmb{E}+\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}=0\\ &\nabla\cdot \pmb{B}=0\\ &\nabla\times \pmb{H}-\frac{\partial \pmb{D}}{\partial t}=\pmb{J} \end{aligned}\right. \tag{44.10}$

在研究介质中的电磁场时，还要配合描述介质性质的本构方程：

$\pmb{D}=\pmb{D}(\pmb{E},\pmb{B}),\pmb{H}=\pmb{H}(\pmb{E},\pmb{B}) \tag{44.11}$

§45 平面电磁波

真空中的电磁场的方程组（44.9）化为

$\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot \pmb{E}=0\\ &\nabla\times \pmb{E}+\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}=0\\ &\nabla\cdot \pmb{B}=0\\ &\nabla\times \pmb{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \pmb{E}}{\partial t} \end{aligned}\right. \tag{45.1}$

这组方程中的电磁场是相互关联的。对两个旋度式求旋度可以将方程化作彼此独立的

$\begin{align*} \nabla\times(\nabla\times \pmb{E})&=\nabla\times\left(-\frac{\partial \pmb{B}}{\partial t}\right)\\ &=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\times\pmb{B})\\ &=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \pmb{E}}{\partial t^2}\tag{45.2} \end{align*}$

由于

$\nabla\times(\nabla\times \pmb{E})=\nabla(\nabla\cdot\pmb{E})-\nabla^2\pmb{E}\tag{45.3}$

以及

$\nabla\cdot\pmb{E}=0\tag{45.4}$

所以有

$\nabla^2\pmb{E}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \pmb{E}}{\partial t^2}\tag{45.5}$

同理对磁场也有

$\nabla^2\pmb{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \pmb{B}}{\partial t^2}\tag{45.6}$

可以看出，式（45.5）和（45.6）都具有波动方程的形式。因此真空中的电磁场的每个直角分量都具有波的形式的解。波速为

$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}\tag{45.7}$

非常令人吃惊的是，这个结果恰好等于光速！！于是，Maxwell预言光是电磁波，而这个事实已经是我们所熟悉的了。

上述方程的一个解为

$\widetilde{\pmb{E}}=\widetilde{\pmb{E}}_0e^{i(\pmb{k}\cdot \pmb{r}-\omega t)}\quad \widetilde{\pmb{B}}=\widetilde{\pmb{B}}_0e^{i(\pmb{k}\cdot \pmb{r}-\omega t)}\tag{45.8}$

这里我们用的是复数表示的电磁场，它们的实部为物理的电磁场。这样的解称为单色平面波。单色是指它们的频率$\omega$为一个常数，因为在可见光范围内不同频率的电磁波的颜色不同。其中的$|\pmb{k}|=\omega/c$，方向为电磁波传播的方向，称为波矢，它的模称为波数。

介质中的波动方程为

$\nabla^2\pmb{E}-\epsilon\mu\frac{\partial^2 \pmb{E}}{\partial t^2}=0 \qquad \nabla^2\pmb{H}-\epsilon\mu\frac{\partial^2 \pmb{H}}{\partial t^2}=0\tag{45.9}$

现在的波速不再是光速，而是$v=1/\sqrt{\epsilon\mu}$。它们的最基本的解同样是

$\pmb{E}=\pmb{E}_0\cos(\pmb{k}\cdot \pmb{r}-\omega t)\qquad \pmb{H}=\pmb{H}_0\cos(\pmb{k}\cdot \pmb{r}-\omega t)\tag{45.10}$

现在的色散关系变为$\omega/k=1/\sqrt{\epsilon\mu}$，而是更为复杂的函数关系。将上述解带回到波动方程中，我们得到

$\pmb{k}\cdot \pmb{E}=\pmb{k}\cdot\pmb{H}=0 \tag{45.11}$ $\pmb{k}\times \pmb{E}=\mu\omega\pmb{H}\qquad \pmb{k}\times \pmb{H}=\epsilon\omega \pmb{H}\tag{45.12}$

这几个式子表明，电磁波的电场强度矢量、磁场强度矢量和波矢两两垂直，并有特定的数量关系。这说明电磁波是一种横波。根据色散关系，我们可以得到电场和磁场的振幅之间的关系

$\epsilon E^2=\mu H^2\tag{45.13}$

§46 电磁场的能量、动量和角动量

电磁场作为一种物质，同样具有能量、动量和角动量。对于在均匀各向同性介质中的电磁场来说，能量密度$w$为单位体积中的能量

$w=\frac{1}{2}\epsilon E^2+\frac{1}{2}\mu H^2 \tag{46.1}$

如果存在电磁波，那么就会有能量随着电磁波的传播而传递。单位面积上单位时间内的能量通量称为能流密度$\pmb{S}$

$\pmb{S}=\pmb{E}\times \pmb{H} \tag{46.2}$

电磁场单位体积中的动量即动量密度为

$\pmb{g}=\pmb{D}\times\pmb{B}\tag{46.3}$

单位体积中的角动量即角动量密度为

$\pmb{l}=\pmb{r}\times \pmb{g}\tag{46.4}$

由能量守恒定律我们可以得到能量密度和能流密度之间的连续性方程

$\nabla\cdot\pmb{S}+\frac{\partial w}{\partial t}=0\tag{46.5}$

证明过程与电荷的连续性方程证明过程类似。

对于平面电磁波，上述物理量的表达式可以写为

$w=\epsilon E^2=\mu H^2\tag{46.6}$ $\pmb{S}=w\pmb{v}=v^2\pmb{k}\tag{46.7}$ $\pmb{g}=\frac{\pmb{S}}{v^2}=\pmb{k} \tag{46.8}$

我们可以看到，波矢就是电磁波的动量（密度）。对上面这些式子在一个周期内求平均，我们可以得到更常用的平均能量密度、平均能流密度和平均动量密度

$\bar{w}=\frac{1}{2}\epsilon E^2\tag{46.9}$ $\bar{\pmb{S}}=\bar{w}\pmb{v}\tag{46.10}$ $\bar{\pmb{g}}=\frac{\bar{\pmb{S}}}{v^2}\tag{46.11}$

前言

第一章 真空静电学